2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

代进去算：$t=1$ 时 $h=3$，$t=2$ 时 $h=4$，$t=3$ 时 $h=3$，$t=4$ 时 $h=16-16=0$。D。

「落地」就是 $h=0$，也就是方程 $4t-t^2=0$，即 $t(4-t)=0$，根是 $0$（刚抛出）和 $4$（落地）。「在空中」就是 $h>0$，也就是不等式 $4t-t^2>0$，答案是 $0<t<4$。

把 $h$ 随 $t$ 的变化画出来是一条开口向下的抛物线：和横轴交在 $0$ 和 $4$，中间拱在横轴上方。方程的根看交点，不等式的解看上方还是下方——这一节就讲这件事。

B。$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，$x=1$ 和 $x=3$ 时函数值是 $0$。选 A 的同学写成了交点，零点是交点的横坐标，是实数。C 是和 $y$ 轴的交点；D 是 $y<0$ 的解集。

A。$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$，两根 $1$ 和 $4$，「$<0$」取中间，根不要。选 D 的同学把根的符号弄反了：$x-1=0$ 得 $x=1$，不是 $-1$。选 B 是读成了「$>0$」，选 C 是多要了端点。

A。乘 $-1$ 得 $x^2-2x-8<0$，即 $(x+2)(x-4)<0$，取中间 $-2<x<4$。选 B 的同学乘了 $-1$ 却忘了把「$>$」改成「$<$」。代 $x=0$ 检查：$8>0$，$0$ 应该在解集里，B 里没有它。

A。$x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$，永远不会小于 $0$。选 B 的同学把「$<0$」当成了「$\le 0$」：$x=-1$ 时值是 $0$，不满足「小于」。D 是「$>0$」的答案。

A。$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$，两根 $-4$ 和 $3$。开口向上，「$\le 0$」取中间，根也要。选 B 漏了端点；选 C 读到了上方；选 D 是根的符号弄反了。

A。没有实根就是 $\Delta <0$：$(-2{)}^2-4k=4-4k<0$，得 $k>1$。选 C 的同学把 $k=1$ 也算进来了：那时 $\Delta =0$，方程是 $(x-1{)}^2=0$，有一个重根 $1$。B、D 是有实根的情形。

B。卡在「开口朝哪」：$x^2$ 前面是 $-1$，开口向下，中间拱在 $x$ 轴上方，两边掉到下方，所以「大于 0」在两根中间。代 $x=0$：$2>0$，确实成立。

选 A 的同学背了「大于取两边」，这句话只在开口向上时对。稳妥的做法是先乘 $-1$、不等号反向，变成 $x^2-x-2<0$ 再读。选 D 是把不等式和方程弄混了：$-1$ 和 $2$ 让式子等于 0，恰恰不满足「大于 0」。

C。卡在「根要不要」：$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$，$\Delta =0$，抛物线在 $x=2$ 处碰到 $x$ 轴又回到上方——重根处不变号。除了 $x=2$ 那一点值是 0，其余地方都大于 0。B 是「$\ge 0$」的答案；D 是「$\le 0$」的答案。在「动手」①里点「重根」，再把四个不等号点一遍。

A。卡在「实际问题取交集」：$x(x+2)\ge 8$，即 $x^2+2x-8\ge 0$，$(x+4)(x-2)\ge 0$，解得 $x\le -4$ 或 $x\ge 2$。宽是长度，要 $x>0$，取交集只剩 $x\ge 2$。选 B 的同学停在了不等式的解集；选 C 读成了中间。

B。卡在「真是二次吗」：$m$ 是参数，先看 $m=0$：式子变成 $1>0$，对所有 $x$ 都成立，所以 $m=0$ 要算进去。

$m\ne 0$ 时是二次式。要整条抛物线都在 $x$ 轴上方，必须开口向上 $m>0$，并且和 $x$ 轴没有交点 $\Delta =m^2-4m<0$，得 $0<m<4$。$m=4$ 时 $\Delta =0$，式子是 $(2x-1{)}^2$，在 $x=\frac{1}{2}$ 处等于 0，不满足「$>0$」。合起来是 $0\le m<4$。选 A 漏了 $m=0$；选 C 多了 $m=4$。可以在「动手」②里拉 $m$ 对照。