8.3 列联表与独立性检验

年级里调查了 $80$ 名男生、$50$ 名女生，问「每周打不打篮球」。男生有 $48$ 人打，女生有 $10$ 人打。由于男女生总人数不同，我们把两组都画成等长的「百人比例条」来比一比：

1. 先认识几个词

要用到：事件的相互独立 $P(AB)=P(A)P(B)$（回看必修二 10.2）；频率和比例；成对数据、两个变量之间的关系（回看 8.1）。

2. 先看比例：等高堆积条形图

人数多少不能直接比，两行的总人数可能不同。把每一行都换成比例，画成一样高的条，每条按比例分成两段，这叫等高堆积条形图。两条的分界线高度差不多，说明两行比例差不多；差得多，说明可能有关联。

3. 算 ${\chi }^2$

${\chi }^2$ 把「每个格子实际人数和独立时应有人数差多少」合成一个数。对 $2\times 2$ 表，它化简为核心计算公式：

4. 检验三步，结论怎么说

解题金钥匙

第一步·立假设提边际 (破题信号与列联表准备)

明确零假设 $H_0$：「两变量相互独立/无关联」；审清题目要求的小概率值 $\alpha$（如 $\alpha =0.01$），查表锁定临界值 $x_{\alpha }$（如 $6.635$）；核对列联表 $a,b,c,d$ 与四个边缘合计。

第二步·套公式算卡方 (高精度交叉运算防错)

套用 ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。先算主副对角乘积差 $ad-bc$，平方并乘以 $n$；分母四项相乘，计算过程保留三位小数，防分子漏乘 $n$ 或平方算错。

第三步·比阈值严谨作答 (规避绝对化严防扣分)

• 若 ${\chi }^2\ge x_{\alpha }$：在适用条件满足时，按 $\alpha$ 水平拒绝 $H_0$，认为有统计证据表明两变量有关联； • 若 ${\chi }^2<x_{\alpha }$：不能拒绝 $H_0$，作答为「没有充分证据认为两变量有关联」（严禁作答为「证明了两者完全独立」！）。

误拒风险的前提是 $H_0$ 为真，并针对重复使用这套检验规则；不能把 $1-\alpha$ 当成本次结论正确的概率。

5. 用之前，查这几件事（三大翻车现场与防坑指南）

再深一点（可以先跳过）

公式从哪来：独立时每个格子「应有」的人数是 $\frac{\text{行合计}\times \text{列合计}}{n}$。把四个格子的 $\frac{(\text{实际}-\text{应有}{)}^2}{\text{应有}}$ 加起来，对 $2\times 2$ 表化简后正好是上面的公式。例 2 里，常吃早餐且犯困应有 $\frac{50\times 45}{100}=22.5$ 人，实际 $15$ 人。

和反证法比：反证法是「假设 $\Rightarrow$ 推出矛盾 $\Rightarrow$ 假设一定不对」。独立性检验是「假设 $H_0$ $\Rightarrow$ 这么大的 ${\chi }^2$ 很少见 $\Rightarrow$ 不太相信 $H_0$」。很少见不是不可能。在近似模型适用时，$\alpha$ 描述的是 $H_0$ 为真时规则的误拒风险，不是这次结论错误的概率。

临界值从哪来：$H_0$ 成立、$n$ 较大时，${\chi }^2$ 近似服从一种叫「自由度为 $1$ 的 ${\chi }^2$ 分布」的分布，表里的数就是它右侧概率为 $\alpha$ 的位置。「动手」③ 可以亲手抽样看到这一点。

① 列联表：改人数，看条形图和 ${\chi }^2$

点 $+$、$-$，或在格子里输入人数（选中后方向键也能改）。上面是等高堆积条形图，虚线是「若独立」时的比例；下面的刻度上，圆点是 ${\chi }^2$，竖线是所选 $\alpha$ 的临界值。试试把一行清成 $0$。

② 进阶：比例不变，人数变多

表固定是 $6m,4m;4m,6m$：两组比例一直是 $60\%$ 对 $40\%$。拖滑块改 $m$（选中后方向键也行），看 ${\chi }^2$ 怎么跟着 $n$ 变。

③ 进阶：$H_0$ 真成立时，会误判多少次

这里两组各 $50$ 人，每人选「是」的概率都是 $0.3$，两个变量真的独立。每抽一次就得到一张表、一个 ${\chi }^2$。用 $\alpha =0.05$ 的规则，看误判「有关联」（${\chi }^2\ge 3.841$，红色）的比例。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

易错

挑战

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。