8.2 一元线性回归模型及其应用

C。气温每高 $2$ ℃，大约多卖 $5$ 根，从 $28$ ℃ 的 $59$ 根再往上走一步，约 $64$ 根。

你其实在心里画了一条直线：五个点并不正好在一条线上（每一步多卖 $6,4,5,4$ 根），但大致沿着一条斜线往上走。

这一节把这件事做准：在所有直线里，按一个明确的标准挑出最贴近这些点的那一条（最小二乘法），再用它估计。也要讲清楚：这样的估计是「平均来说大约多少」，不是「一定是多少」。

B。$\hat{b}$ 带帽子，是样本算出的估计值，换一个样本，估计值可能改变。A 把估计当成了总体参数；C 漏了「平均」：具体两个人之间，体重差多少还受 $e$ 影响。

A。$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=10-2\times 4=2$。可以验：$x=4$ 时 $\hat{y}=2\times 4+2=10=\bar{y}$，直线过样本中心。选 B 的同学把减号写成了加号；选 C 的同学忘了乘 $\hat{b}$。

A。$\hat{y}=0.5\times 4+3=5$，残差 $=y-\hat{y}=6-5=1$，点在直线上方。选 B 是减反了（残差是「真实减预测」）；选 C 只算了预测值。

A。$\hat{b}=\frac{12}{4}=3$，$\hat{a}=5-3\times 2=-1$。验：$x=2$ 时 $\hat{y}=5$，过样本中心。B 是 $\hat{a}$ 的减号写成了加号；C 是把分子分母颠倒了；D 是把 $\bar{y}$ 直接当成了 $\hat{a}$。

B。$2.5\times 6+4=19$，$6$ 在数据范围里。意思是「广告费 $6$ 万元时，销售额平均约 $19$ 万元」，某一次具体是多少会上下浮动。A 漏加了 $4$；D 是把 $6$ 当成了 $y$ 去反解。

C。最小二乘量的是竖直方向的偏差：同一个 $x_i$，真实 $y_i$ 和直线上的 $b{x}_i+a$ 差多少，再平方相加。「点到直线的距离」是垂直于直线量的，是另一回事，A、B 都不对。

D 也不行：只要直线过样本中心，不管斜率多少，残差之和都是 $0$，挑不出最好的那条。在「动手」①里点「画出残差的平方」，看到的金色方块就是要压小的东西。

C。经验回归方程给的是平均趋势的估计。A 错在「一定」：个体有随机误差 $e$，同岁孩子高矮不一。B 错在外推：$25$ 岁远在 $7$～$12$ 岁的数据范围外，那里身高早已不按每年 $6$ cm 涨了。「动手」②里把 $x_0$ 拖出数据范围，可以看到弯曲数据的直线预测差得多远。

B。最小二乘压的是 $y$ 方向的偏差；要估计 $x$，该压的是 $x$ 方向的偏差，得重新拟合：$\bar{x}=\bar{y}=2$，$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=1$，$\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=2$，所以 $\hat{x}=\frac{1}{2}(y-2)+2=0.5y+1$，$y=3$ 时 $\hat{x}=2.5$。

反解得 $4$，差得很远（数据都在 $1$～$3$ 之间）。只有点全在一条直线上时，两种做法才一样。