6.2 排列与组合

B。情境 1 中，选出 A 和 B 时，「A 当正班长、B 当副班长」与「B 当正班长、A 当副班长」是两码事！分先后顺序，属于排列，共有 $4\times 3=12$ 种；

而在情境 2 中，无论谁先被抽中，A 和 B 组合在一起都是同一个小组，颠倒顺序毫无影响！不计顺序，属于组合，共有 $\frac{12}{2!}=6$ 种。

这一节就来数清楚：讲顺序的叫排列，不讲顺序的叫组合，两者差多少倍；再看有条件的排队（特殊优先、捆绑、插空）怎么数。

B。情境 1 中，甲与乙握手就是乙与甲握手，交换后没变，是组合（共 $C_{10}^2=45$ 次）；情境 2 中，「甲站到乙站」和「乙站到甲站」是两种票，交换后变了，是排列（共 $A_{10}^2=90$ 种）。常见错：看到「两个两个」就都当组合，忘了做交换检验。

B。左、中、右三条位置不同，换颜色就是另一面旗，是排列：$A_5^3=5\times 4\times 3=60$。选 A 是 $5^3$，允许了颜色重复，题目说互不相同；选 C 是 $C_5^3$，只选了颜色没排位置；选 D 是把 $5\times 3$ 当成了排列数。

C。$C_{20}^{18}=C_{20}^2=\frac{20\times 19}{2\times 1}=190$。选 A 是只算了 $20\times 19$，忘了除以 $2!$（那是 $A_{20}^2$）；选 B 是把 $C_{20}^{18}$ 当成了 $C_{20}^1$。

A。甲是特殊元素，先排：中间 3 个位置任选一个，3 种；其余 4 人排剩下 4 个位置，$4!=24$。共 $3\times 24=72$。也可以从反面算：$120-2\times 24=72$。选 B 是只去掉了「甲站排头」的 24 种，忘了排尾；选 D 是没管限制。

C。代入组合数计算公式：$C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=\frac{210}{6}=35$。

A。相邻用捆绑法：将甲、乙捆绑为一个整体，与其余 4 人共计 5 个元素进行全排列，排法有 $A_5^5=120$ 种；甲、乙两人内部位置互换有 $A_2^2=2$ 种。总数 $N=120\times 2=240$ 种。

D。握手属于典型的无序组合问题（甲与乙握手等同于乙与甲握手，不区分先后）。总握手次数为从 8 人中任取 2 人的组合数：$C_8^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$ 次。切忌错用排列数算成 56！

B。不相邻用插空法：

第一步：先排 4 名男生，有 $A_4^4=24$ 种；

第二步：4 名男生排好后产生 $4+1=5$ 个空位（含两端外侧）；

第三步：将 3 名女生插入这 5 个空位中，有 $A_5^3=5\times 4\times 3=60$ 种；

根据分步乘法原理：$N=24\times 60=1440$ 种。

C。定序问题除法消序法！6 个人全排列总共有 $A_6^6=720$ 种排法。在所有这些排法中，由对称性可知，「甲在乙前」与「乙在甲前」的机会完全均等，各占一半！因此排法数直接为 $\frac{720}{2!}=360$ 种。