6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

B。第一阶段到码头，乘大巴或乘轻轨都能到达码头，属于二选一的分类，共有 $3+2=5$ 种方法；

但是到了码头任务并没有结束！小明还必须搭乘渡轮，缺少第二阶段就到不了海岛。两阶段是连续必须完成的分步关系，所以用乘法：$5\times 4=20$ 种。

区分「分类」还是「分步」，关键在于：单独这一类能不能独立完成整件事！这一节我们就来系统建立两大基本计数原理。

C。① 只取一本：取数学书、物理书或化学书都能单独办完，属于分类加法：$4+3+2=9$ 种；② 三科各取一本：取完数学书还没办完，要三科都取，属于分步乘法：$4\times 3\times 2=24$ 种。

B。分成不重的两类：偶数 $15$ 个；是 $5$ 的倍数的奇数 $5,15,25$，$3$ 个。共 $15+3=18$。选 A 是直接 $15+6$：$10,20,30$ 两类都算了一次，重了；选 D 是把「选一个数」当成了两步相乘。

C。三个人都报完才算办完，一人一步：每人都有 $4$ 个组可选，$4\times 4\times 4=64$。选 B 是把「组」当成了步骤，算成 $3^4$：可每个组并不是非选一个人不可；选 D 是以为不能报同一个组；选 A 是把乘法做成了 $3\times 4$。

B。个位是 $0$：百位 $3$ 种、十位 $2$ 种，$6$ 个；个位是 $2$：百位只能是 $1$ 或 $3$，$2$ 种，十位 $2$ 种，$4$ 个。共 $6+4=10$。选 A 是不分类、直接按个位 $2$ 种 × 百位 $3$ 种 × 十位 $2$ 种，把 $0$ 打头的 $2$ 个（$012$、$032$）也数进去了。

A。推选一人：选男生或选女生都能完成，分类加法：$20+18=38$ 种；推选男女各一人：必须先选男生再选女生才完成，分步乘法：$20\times 18=360$ 种。

D。形成密码必须完成 5 个步骤：第 1 位字母有 26 种，第 2 位不同字母有 25 种；第 3 位数字有 10 种，第 4 位不同数字有 9 种，第 5 位不同数字有 8 种。分步相乘：$26\times 25\times 10\times 9\times 8=468,000$ 个。

C 把最后一位数字仍算成 $9$ 种，但前两位数字已用了两个不同数字，只剩 $8$ 种；交换乘式中因子的次序不会改变总数，不能据书写顺序判错。

B。分步解决优先限制位置：奇数有 $1,3,5$（共 3 个），偶数有 $2,4$（共 2 个）。

① 首位排奇数：3 种；

② 末位排奇数：剩 2 个奇数可选，2 种；

③ 中间三个位置排剩下的 3 个数字（1 个奇数和 2 个偶数）：$3\times 2\times 1=6$ 种。

根据分步乘法原理：$N=3\times 2\times 6=36$ 个。

条件只限制首位和末位：剩下的一个奇数可以排在中间，不是要求所有奇数都排在两端。

A。按「相邻最多的先涂」分步：

先涂 $A$：$4$ 种；再涂 $C$（与 $A$ 相邻）：$3$ 种；$B$ 只要和 $A,C$ 不同：$2$ 种；$D$ 也只要和 $A,C$ 不同：$2$ 种（$B,D$ 不相邻，可以同色）。共 $4\times 3\times 2\times 2=48$ 种。

也可以按 $B,D$ 同色、异色分类核对：同色 $4\times 3\times 2\times 1=24$，异色 $4\times 3\times 2\times 1=24$，合计 $48$。选 $84$ 的同学套了「四块围成一圈」的经典题，可这里 $A$ 和其余三块都相邻，不是环形。

B。正难则反（间接计数法）！

考察从 000 到 999 这一千个三位编码（对应 0 到 999，其中 1000 不含 3）。

不含数字 3 的每一位只能从余下的 9 个数字（0,1,2,4,5,6,7,8,9）中任选：

不含 3 的编码数：$9\times 9\times 9=729$ 个（包含了 000）。

除去 000 本身，在 1 到 999 中不含 3 的数有 $729-1=728$ 个；加上 1000（不含 3），1 到 1000 中不含 3 的数共有 $728+1=729$ 个。

因此含有数字 3 的正整数总数：$1000-729=271$ 个！