5.3 导数在研究函数中的应用

B。必须排除局部常数区间！

例如常数函数 $f(x)=5$，其导数 $f^{\prime }(x)\equiv 0\ge 0$，但函数值始终是 5，没有发生任何递增。

严格的数学定理是：若 $f^{\prime }(x)>0$，则函数必定单调递增；而当 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 时，还需排除任何恒为常数的小区间。导数为 0 的点只是孤立点（如 $f(x)=x^3$ 的 $x=0$）是一个常用的充分情形，不能说它是唯一可能情形。

这一节我们就来系统建立单调性判定法则、极值点搜寻机制与闭区间最值求解标准程序。

A。$f^{\prime }(x)=1-{\mathrm{e}}^x$。$f^{\prime }(x)>0⟺{\mathrm{e}}^x<1⟺x<0$。选 B 是递减区间；选 C 是把 ${\mathrm{e}}^x<1$ 误当成 $x<1$。

A。$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$，驻点 $\pm 1$。$x=1$ 左边 $f^{\prime }<0$、右边 $f^{\prime }>0$，是极小值点。问的是「点」（横坐标），选 C 是把极小值 $f(1)=-2$ 当成了点；选 B 是极大值点。

B。驻点值 $16,-16$ 与端点值 $9,65$ 汇总比对：最大为 $65$，最小为 $-16$。选 A 漏算了端点！

C。极值只和邻域比，$x+\frac{1}{x}$ 就是反例（极大值 $-2<$ 极小值 $2$）。B 选项后半句错（如 $x^3$ 在 0 处）；D 选项端点不可充当极值点。

A。求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令 $f^{\prime }(x)<0⟹x^2<1⟹-1<x<1$。因此单调递减区间为 $(-1,1)$。

B。求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$。当 $x<-2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $-2<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。因此 $x=-2$ 是极大值点。极大值为 $f(-2)=(-2{)}^3-12(-2)+1=-8+24+1=17$。

D。求导 $f^{\prime }(x)=3x^2$。当 $x\ne 0$ 时恒有 $f^{\prime }(x)>0$。$x=0$ 两侧导数均为正数，导数并没有发生变号！因此函数在 $x=0$ 处一直在递增爬升，不是极值点。本题应检查驻点两侧的导数符号，不能只看 $f^{\prime }(0)=0$。

C。求导 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟹x=1\in [0,2]$。极小值 $f(1)=1-3=-2$。计算两端点值：左端点 $f(0)=0$；右端点 $f(2)=2^3-3(2)=8-6=2$。比对候选池 $\{f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=2\}$：最大值为 $2$，最小值为 $-2$。

A。函数在 $\mathbf{R}$ 上递增，则其导数恒满足 $f^{\prime }(x)=3x^2+a\ge 0$。对任意实数 $x$，$3x^2\ge 0$，因此只需 $a\ge 0$。注意 $a=0$ 时 $f(x)=x^3$ 依然严格递增，所以等号必须取到！范围为 $[0,+\infty )$。