3.2 双曲线

从声源定位的时间差到冷却塔的双曲面外形，双曲线以「距离差的绝对值恒定」刻画了两支无限延伸的对称曲线。正项定实轴、渐近线无限逼近、离心率大于 1 是洞悉双曲线本质的三把钥匙。

本节知识点双曲线距离差定义与分支双曲线标准方程与正项焦轴双曲线范围、离心率与渐近线直线与双曲线的降次及交点双曲线焦半径的分支表达双曲线第二定义的条件化拓展

第 1 步

从例子进入

在海防导航中，两个相距 $10 km$ 的监测站 $F_{1} (- 5, 0), F_{2} (5, 0)$ 同时记录到某处海域传来的爆炸声。 $F_{1}$ 站比 $F_{2}$ 站晚了 $2$ 秒听到声响（声速 $3 km/s$ ），意味着声源 $P$ 到两站的距离差满足 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6 km$ 。点按钮看声波传播与轨迹：

互动演示载入中

想一想

如果动点 $P$ 满足条件 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6 km$ （注意：此处没有加绝对值！），那么声源 $P$ 可能所在的轨迹是什么图形？

看答案与解析

答案：B

B。注意看式子： $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6 > 0$ ，这意味着 $∣ P F_{1} ∣ = ∣ P F_{2} ∣ + 6$ 。

点 $P$ 到 $F_{1}$ 的距离永远比到 $F_{2}$ 的距离大 $6 km$ ，因此点 $P$ 必然更靠近 $F_{2}$ ，只能画出靠近 $F_{2}$ 的单单一支（右支）！

只有当我们加上绝对值，写成 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 6$ 时，点 $P$ 既可以更靠近 $F_{2}$ （ $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6$ ），也可以更靠近 $F_{1}$ （ $∣ P F_{2} ∣ - ∣ P F_{1} ∣ = 6$ ），此时才是一左一右两支对称的完整双曲线！

这就是双曲线定义中最容易被忽略的第一道关键红线：距离差的「绝对值」！

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：两点间距离公式（回看 2.3）；椭圆的定义和 $a, b, c$ （回看 3.1）。

互动演示载入中

参数对比

双曲线：焦点在两翼最外侧， $c > a$ ，勾股关系为 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ （ $c$ 是斜边！）。离心率 $e = \frac{c}{a} > 1$ 。

椭圆：长轴端点在最外侧， $a > c$ ，勾股关系为 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ （ $a$ 是斜边）。离心率 $e = \frac{c}{a} \in (0, 1)$ 。

切记：双曲线里允许 $a < b$ 或 $a = b$ （等轴双曲线），判定焦点必须看正项而非分母大小！

临界辨析

三态蜕变：平面内到两焦点距离差的绝对值 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ ： ① $0 < 2 a < 2 c$ ⟹ 轨迹为双曲线（两支）； ② $2 a = 2 c$ ⟹ 轨迹退化为两条射线； ③ $2 a > 2 c$ ⟹ 两边之差不可能大于第三边，无轨迹（空集）； ④ $2 a = 0$ ⟹ 垂直平分线。

绝对值警示：无绝对值时仅表示双曲线的单单一支！

2. 定义：距离差的绝对值等于 $2 a$

椭圆是「到两焦点距离的和一定」；把「和」换成「差」，就得到双曲线：

为什么要绝对值： $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ 说明 $P$ 离 $F_{2}$ 更近，只得到靠近 $F_{2}$ 的一支； $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = - 2 a$ 是靠近 $F_{1}$ 的另一支。加上绝对值，两支合起来才是整条双曲线。
为什么要 $2 a < 2 c$ ：三角形两边之差小于第三边， $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣$ 最多等于 $2 c$ 。等于 $2 c$ 时只剩两条射线，大于 $2 c$ 时一个点也没有。

想一想

自己试试： $P$ 在双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的右支上， $∣ P F_{1} ∣ = 10$ ，那么 $∣ P F_{2} ∣ =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。 $a = 3$ ， $2 a = 6$ 。右支上的点离 $F_{2}$ 更近， $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6$ ，所以 $∣ P F_{2} ∣ = 10 - 6 = 4$ 。选 B 是把差的方向弄反了（那是左支）；选 C 是没用上「右支」这个条件；选 D 是把 $c - a$ 当成了答案。

3. 标准方程：正项定焦点

焦点放在 $x$ 轴上： $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ 。移项整理得到标准方程：

怎么看焦点在哪个轴：哪一项是正的，焦点就在哪个轴上，正项下面的分母是 $a^{2}$ 。这和椭圆「看分母谁大」不同：双曲线里 $a$ 可以小于 $b$ 。

想一想

自己试试：方程 $- \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{7} = 1$ 表示的双曲线，焦点坐标是？

看答案与解析

答案：A

A。改写成 $\frac{y ^{2}}{7} - \frac{x ^{2}}{9} = 1$ ，正项是 $y^{2}$ ，焦点在 $y$ 轴上； $c^{2} = 7 + 9 = 16$ ， $c = 4$ 。选 B 是按「分母大的在哪个轴」判断，那是椭圆的做法；选 C、D 是用了椭圆的 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。

4. $a, b, c$ 的关系和离心率

双曲线里 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ， $c$ 最大，像直角三角形的斜边。离心率

$e$ 越大， $\frac{b}{a}$ 越大，双曲线开口越开阔。

想一想

自己试试：双曲线 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 的离心率是？

看答案与解析

答案：A

A。 $a = 2$ ， $c^{2} = 4 + 5 = 9$ ， $c = 3$ ， $e = \frac{3}{2}$ 。双曲线的 $e$ 恒大于 $1$ 。

5. 渐近线

把标准方程右边的 $1$ 换成 $0$ ，因式分解就得到两条渐近线：

想一想

自己试试：已知双曲线方程为 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$ ，则该双曲线的离心率 $e$ 和渐近线方程分别为：

看答案与解析

答案：A

A。正项是 $x^{2}$ ， $a = 2, b = 23, c = 4 ⟹ e = 2$ 。令右端为 $0 ⟹ y = \pm 3 x$ 。

6. 三步破题思维链：双曲线标准解题动作

第一眼破题信号

审清方程或几何条件：找准正项锁定焦点轴向（ $x^{2}$ 项为正，焦点在 $x$ 轴； $y^{2}$ 项为正，焦点在 $y$ 轴），正项分母恒为 $a^{2}$ 。

第二步套公式/方法

① 参数关系：套用 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ （ $c$ 最大）与 $e = \frac{c}{a} > 1$ ； ② 渐近线求解：直接把标准方程右边的 $1$ 替换为 $0$ ，去分母分解得两条直线； ③ 若给出渐近线方程 $y = \pm \frac{b}{a} x$ ，可直接设双曲线系方程 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = λ$ （ $λ \neq = 0$ ）。

第三步必查防坑结论

① 焦点在 $y$ 轴时渐近线斜率为 $\pm \frac{a}{b}$ 绝非 $\pm \frac{b}{a}$ ！ ② 题目若说明动点在「右支」或「左支」，脱绝对值时只能取单修正号，切勿保留双解。

7. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

等轴双曲线： $a = b$ 时方程是 $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ ，渐近线 $y = \pm x$ 互相垂直，离心率 $e = 2$ 。

共渐近线方程系： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = λ$ （ $λ \neq = 0$ ）具有共同的渐近线 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 。

第 3 步

动手

双曲线左右支与渐近线无限逼近微实验室

拖动动点 $P$ （或按键盘方向键）沿双曲线移动。观察到两焦点的距离差绝对值 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a$ 恒定不变；当点 $P$ 沿着曲线延伸向远处时，观察点 $P$ 到渐近线的垂直距离 $d \to 0$ ：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。做完直接出解析，帮你在实战中巩固几何量计算与避坑直觉。

直接用

想一想

双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的焦点坐标与渐近线方程分别为：

看答案与解析

答案：A

A。① 正项是 $x^{2}$ ，焦点在 $x$ 轴上； $a^{2} = 9 ⟹ a = 3$ ， $b^{2} = 16 ⟹ b = 4$ 。

② 由 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 得 $c^{2} = 9 + 16 = 25 ⟹ c = 5$ ，故焦点坐标为 $(\pm 5, 0)$ （选 D 错用成椭圆的 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ）。

③ 令右端为 $0$ ： $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 0 ⟹ \frac{y ^{2}}{16} = \frac{x ^{2}}{9} ⟹ y = \pm \frac{4}{3} x$ （选 C 倒置了渐近线斜率）。

想一想

已知双曲线的中心在原点，焦点在 $y$ 轴上，焦距为 $8$ ，离心率 $e = \frac{4}{3}$ ，则该双曲线的标准方程为：

看答案与解析

答案：A

A。焦距 $2 c = 8 ⟹ c = 4$ 。由离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{a} = \frac{4}{3}$ 得 $a = 3 ⟹ a^{2} = 9$ 。

再由 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 得 $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 16 - 9 = 7$ 。

因为焦点在 $y$ 轴上，正项为 $y^{2}$ ，故标准方程为 $\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{7} = 1$ 。选 B 选错焦点轴，选 C 误把半焦距 $c$ 当作实半轴 $a$ 。

易错

想一想

双曲线 $\frac{y ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{25} = 1$ 的实轴长为：

看答案与解析

答案：A

A。专题卡核心红线：正项确定实轴，绝不能看分母大小！

方程中带正号的项是 $y^{2}$ 项，因此实半轴平方 $a^{2} = 4 ⟹ a = 2$ ，虚半轴平方 $b^{2} = 25 ⟹ b = 5$ 。

实轴长为 $2 a = 2 \times 2 = 4$ （切记问的是实轴长 $2 a$ ，不是实半轴 $a$ ！选 C 漏乘了 2；选 B 或 D 受椭圆思维定势误把较大的分母 25 当作 $a^{2}$ ）。

想一想

平面内两定点 $F_{1} (- 3, 0), F_{2} (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足条件 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6$ ，则点 $P$ 的轨迹是：

看答案与解析

答案：C

C。计算两定点距离：焦距 $2 c = ∣ F_{1} F_{2} ∣ = 3 - (- 3) = 6$ 。

题目条件为 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6 = ∣ F_{1} F_{2} ∣$ 。根据平面几何两边之差小于第三边，任意点 $P$ 都有 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ \leq ∣ F_{1} F_{2} ∣ = 6$ 。

当且仅当点 $P$ 落在以 $F_{2}$ 为端点且背离 $F_{1}$ 的射线（即 $x \geq 3, y = 0$ ）上时，才有 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = (x + 3) - (x - 3) = 6$ ！

因此轨迹退化为一条射线！只有当常数严格满足 $0 < 2 a < 2 c$ 且有绝对值时，才是双曲线。

想一想

与双曲线 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 具有公共渐近线，且经过点 $(4, 32)$ 的双曲线，其离心率 $e$ 为：

看答案与解析

答案：B

B。设共渐近线的双曲线系方程为 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = λ (λ \neq = 0)$ 。

代入点 $(4, 32)$ ： $\frac{16}{16} - \frac{18}{9} = 1 - 2 = - 1 ⟹ λ = - 1$ 。

因此双曲线方程为 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = - 1$ ，即 $\frac{y ^{2}}{9} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$ 。

注意！焦点轴发生了转变：正项变成了 $y^{2}$ ，因此焦点在 $y$ 轴上！此时实半轴 $a = 3$ ，虚半轴 $b = 4$ ，半焦距 $c = 9 + 16 = 5$ 。

离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ （若误以为焦点仍为 $x$ 轴算得 $e = \frac{5}{4}$ 则选 A 掉入陷阱！）。

挑战

想一想

点 $P$ 是双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为其左、右焦点。若 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{\circ}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为：

看答案与解析

答案：B

B。设 $r_{1} = ∣ P F_{1} ∣, r_{2} = ∣ P F_{2} ∣$ 。

① 根据双曲线定义： $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a = 2 \times 3 = 6$ ；两边平方得： $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} = 36$ 。

② 在直角 $△ F_{1} P F_{2}$ 中，勾股定理： $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = ∣ F_{1} F_{2} ∣^{2} = (2 c)^{2} = 4 c^{2}$ 。

已知 $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25$ ，所以 $4 c^{2} = 100$ 。

③ 代入得： $100 - 2 r_{1} r_{2} = 36 ⟹ 2 r_{1} r_{2} = 64 ⟹ r_{1} r_{2} = 32$ 。

直角三角形面积 $S = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} = \frac{1}{2} \times 32 = 16$ （经典通式：双曲线焦点三角形面积 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = \frac{b ^{2}}{tan ( θ /2 )} = \frac{16}{tan 4 5 ^{\circ}} = 16$ ！）。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2023 新课标Ⅰ卷第 16 题 · 填空

已知双曲线 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 。点A在C上，点B在y轴上， $F_{1} A ⊥ F_{1} B$ ， $F_{2} A = - \frac{2}{3} F_{2} B$ ，则C的离心率为______。

答案与解析

答案： $\frac{3 5}{5}$

思路

用焦点坐标与向量比例先确定A，再通过垂直消去B。

比例转坐标
$A - F_{2} = - \frac{2}{3} (B - F_{2})$ ，所以 $A = (5 c /3, - 2 t /3)$ 。
垂直转数量积
$F_{1} A = (8 c /3, - 2 t /3)$ ， $F_{1} B = (c, t)$ 。点积为零得 $8 c^{2} /3 - 2 t^{2} /3 = 0$ ，即 $t^{2} = 4 c^{2}$ 。
代入双曲线
设 $r = b^{2} / a^{2} > 0$ ，由 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，有 $c^{2} / a^{2} = 1 + r$ 。代入A坐标得 $25 (1 + r) /9 - 16 (1 + r) / (9 r) = 1$ ，化简为 $25 r^{2} = 16$ ，故 $r = 4/5$ 。
求离心率
$e = c / a = 1 + r = 9/5 = 35 /5$ 。

易错点

比例中的负号不能漏。
双曲线满足 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，不是椭圆的减法关系。

小结

离心率通常只需求半轴比，不必求所有长度。

2026 新高考Ⅰ卷第 12 题 · 填空

双曲线 $5 x^{2} - 6 y^{2} = 1$ 的离心率为＿＿＿＿。

答案与解析

答案： $\frac{66}{6}$

思路

先读出 a²、b²，再用 c²=a²+b² 求离心率。

读取参数
方程为 $x^{2} / (1/5) - y^{2} / (1/6) = 1$ ，所以 $a^{2} = 1/5, b^{2} = 1/6$ 。
计算离心率
$c^{2} = a^{2} + b^{2} = 11/30$ ，于是 $e^{2} = c^{2} / a^{2} = 11/6$ ，故 $e = 66 /6$ 。

易错点

把系数 5、6 直接当成 a²、b²。
混用椭圆关系 c²=a²-b²。

小结

读标准方程时先取分母，再应用双曲线参数关系。

3.2 双曲线

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词

2. 定义：距离差的绝对值等于 2a

3. 标准方程：正项定焦点

4. a,b,c 的关系和离心率

5. 渐近线

6. 三步破题思维链：双曲线标准解题动作

7. 三大翻车现场与反例辨析

动手

双曲线左右支与渐近线无限逼近微实验室

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

2. 定义：距离差的绝对值等于 $2 a$

4. $a, b, c$ 的关系和离心率