9.3 统计案例

第 1 步

从例子进入

学校想知道：高一年级的同学，上学日一晚大概睡多久？全年级 $1000$ 人，一个个问太费事，打算只问一部分人。点下面的按钮看看四种找人办法在全年级人群中的分布：

互动演示载入中

想一想

网点只用于比较抽样方案，不表示人数比例或一次实际抽样的结果。简单随机抽样不保证每班都有同学入样，也不保证走读、住校人数恰好按总体比例分配。

下面哪种找人的办法，得到的数据最能代表全年级？

看答案与解析

答案：B

B。A 里留到最后的人可能本来就睡得晚；C 是愿意填的人才填，他们未必像全年级；D 只有一个班。B 从完整名单中简单随机抽样，让每个人被抽到的机会一样；实际样本仍有随机波动，估计总体时仍可能有抽样误差。

可这只是第一步。拿到 $50$ 个数之后，还要整理成表和图，算平均数、方差、百分位数，最后写出结论和建议。这一节就把这一整套流程走一遍。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：9.1 随机抽样；9.2 平均数、方差与百分位数。贯通统计活动全闭环。

互动演示载入中

样本事实

话语性质：对受访样本数据本身的描述，是客观确定发生的数据事实。

规范措辞：严格限定在「被抽样调查的 $n$ 名对象中，样本均值为……」。

界限警示：只能代表该样本，不能在未经推断前直接说成全校全体规律。

总体估计

话语性质：由局部样本根据统计模型对未知总体的推断性估计。

规范措辞：必须使用「估计总体平均值约为……，存在抽样误差」。

界限警示：绝不可写成「全校平均值就是……」，换一次抽样，数值可能波动。

2. 一个完整的统计过程与数据收集

提出问题：明确研究变量（如高一学生上学日每晚睡眠时长）。
收集数据：合理确定抽样方法（分层按比例随机抽样）。
整理表示：列表分组、绘制频率分布直方图或点图。
分析推断：计算样本均值、方差、中位数、百分位数，合并多层数据。
结论建议：明确区分样本事实、总体估计与行动建议。

想一想

自己试试：另一个年级走读生 $450$ 人、住校生 $270$ 人，按比例分层抽 $40$ 人，走读生抽几人？

看答案与解析

答案：A

A。总体 720 人，走读生占 $\frac{450}{720} = \frac{5}{8}$ ，抽 $40 \times \frac{5}{8} = 25$ 人。选 B 错在把 40 人简单平分。

3. 平均数与方差：代表性与稳定性

想一想

自己试试： $5$ 个数 $6, 7, 7, 8, 7$ 的方差是？

看答案与解析

答案：B

B。 $x ˉ = 7$ ，差的平方为 $1, 0, 0, 1, 0$ ，总和 2，除以 $n = 5$ 得 0.4。选 A 是除以了 $n - 1 = 4$ 。

4. 分层数据合并与三步思维链

典型题三步思维链：两层样本数据合并计算均值与总方差

题目：某调查中，走读生样本 30 人，均值 $x ˉ_{1} = 7.0$ ，方差 $s_{1}^{2} = 0.50$ ；住校生样本 20 人，均值 $x ˉ_{2} = 8.0$ ，方差 $s_{2}^{2} = 0.30$ 。求 50 人整体的样本平均数与合并方差。

1

第一眼破题信号： 两层人数不同（30 vs 20），两层均值不同（7.0 vs 8.0），方差不同。合并均值必须按人数加权；合并方差必须计入组间均值落差！

2

第二步套公式/方法（加权求和与方差双拆解）：

① 求合并均值： $x ˉ = \frac{30 \times 7.0 + 20 \times 8.0}{50} = \frac{210 + 160}{50} = \frac{370}{50} = 7.4$ 小时。

② 求各层均值与总均值的差平方：走读生层： $(x ˉ_{1} - x ˉ)^{2} = (7.0 - 7.4)^{2} = (- 0.4)^{2} = 0.16$ ；住校生层： $(x ˉ_{2} - x ˉ)^{2} = (8.0 - 7.4)^{2} = (0.6)^{2} = 0.36$ 。

③ 代入合并方差公式： $s^{2} = \frac{30}{50} [0.50 + 0.16] + \frac{20}{50} [0.30 + 0.36] = 0.6 \times 0.66 + 0.4 \times 0.66 = 0.66$ ！

3

第三步必查防坑结论： ① 严禁直接把两组方差求平均（ $\frac{0.50 + 0.30}{2} = 0.40$ ，比真值 0.66 严重低估近 40%！丢失了 7.0 与 8.0 之间的群间离差）； ② 校验加权系数之和为 1（ $0.6 + 0.4 = 1.0$ ）。

想一想

自己试试：走读生 10 人排好序为 $6, 6, 6.5, 7, 7, 7, 7, 7.5, 7.5, 8.5$ ，其第 $90$ 百分位数是？

看答案与解析

答案：C

C。 $i = 10 \times 90% = 9$ （整数），取第 9 位（7.5）与第 10 位（8.5）的平均值 $\frac{7.5 + 8.5}{2} = 8.0$ 。

5. 结论、推断与建议的三重区分

想一想

自己试试：下面哪一句是属于「行动建议」？

看答案与解析

答案：C

C。A 为样本事实，B 为总体推断，C 才是立足现状的决策行动建议。

6. 三大翻车现场与反例微图解

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

多层合并总方差通式：若总体分为 $K$ 层，样本量为 $n = \sum n_{i}$ ，则合并总方差为： $s^{2} = \sum_{i = 1}^{K} \frac{n _{i}}{n} [s_{i}^{2} + (x ˉ_{i} - x ˉ)^{2}]$ 。

第 3 步

动手

① 拖一拖：平均数、方差、百分位数

点图里是例 3 那 $10$ 名走读生的睡眠。拖动任一个点（或选中后按方向键，每次 $0.5$ 小时），看平均数（绿线）、标准差范围（浅色带）和第 $p$ 百分位数（棕色虚线）怎么变。试试把一个点拖到 $12$ ：平均数动了，中位数呢？

互动演示载入中

② 进阶：两层合起来

绿块是走读生、棕块是住校生：块的宽是「平均数 $\pm$ 标准差」，高表示人数。拖动轴上的两个圆点改各层平均数（方向键每次 $0.1$ ），滑块改走读生人数（共 $50$ 人）。看金色的合并平均数和红色虚线「直接平均」差多少，再看合并方差里的「层间」部分怎么随两层拉开而变大。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

某校高一 $800$ 人、高二 $600$ 人、高三 $600$ 人，按比例分层随机抽 $100$ 人，高二抽几人？

看答案与解析

答案：A

A。总体 $2000$ 人，抽样比 $\frac{100}{2000} = \frac{1}{20}$ ，高二抽 $600 \times \frac{1}{20} = 30$ 人（高一 $40$ 、高三 $30$ ）。选 B、D 是把 $100$ 平分成三份，没按比例；选 C 是高一的人数。

想一想

$8$ 名同学一周的课外运动次数排好序： $3, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10$ 。第 $75$ 百分位数是？

看答案与解析

答案：B

B。 $i = 8 \times 75% = 6$ 是整数，取第 $6$ 、 $7$ 个的平均 $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$ 。选 A 是只取了第 $6$ 个；选 C 是只取了第 $7$ 个。

易错

想一想

学校想了解学生每天用手机多久。方案甲：在学校公众号发问卷，三天收回 $1500$ 份；方案乙：从各年级名单里按比例随机抽 $120$ 人当面填写。哪个方案的结果更可信？

看答案与解析

答案：B

B。甲是自愿作答：会看公众号、愿意填的人，本身可能就更常用手机，样本偏了。份数再多，偏差也还在，增大样本量修不了抽样方式的毛病。乙虽然人少，但每个人被抽到的机会一样，更有代表性。

想一想

甲组 $10$ 人测验平均 $70$ 分、方差 $4$ ；乙组 $10$ 人平均 $80$ 分、方差 $4$ 。两组合起来 $20$ 人，方差是？

看答案与解析

答案：B

B。合并平均 $75$ ，两组平均都离它 $5$ 。 $s^{2} = \frac{1}{20} [10 \times (4 + 25) + 10 \times (4 + 25)] = 29$ 。选 A 是只平均了两组方差，漏了两组平均分差 $10$ 分带来的分散；选 C 是把两个方差加了起来。

想一想

记录一周睡眠：甲平均 $6.5$ 小时、方差 $0.05$ ；乙平均 $8$ 小时、方差 $0.4$ 。有人说「甲的方差小，更稳定，所以甲的睡眠情况更好」。对吗？

看答案与解析

答案：B

B。方差只说波动大小：甲每晚都差不多，但都在 $6.5$ 小时左右，离 $8$ 小时差得远。「睡得够不够」先看平均数，「规不规律」才看方差。C 把方差的意思说反了。

挑战

想一想

某小组 $10$ 人每周课外阅读时间： $9$ 人各 $2$ 小时， $1$ 人 $20$ 小时。报告写：「平均每人每周读 $3.8$ 小时，超过 $3$ 小时的目标，说明大部分同学阅读时间达标。」这个结论哪里有问题？

看答案与解析

答案：B

B。平均数 $\frac{9 \times 2 + 20}{10} = 3.8$ 没算错，可 $10$ 人里 $9$ 人只有 $2$ 小时，中位数是 $2$ ，达标的只有 $1$ 人。「平均数超过目标」推不出「大部分人达标」。

有极端值时，平均数、中位数要一起看；想说「大部分人」，最好直接数达标的人数，或者看百分位数。C 把平均数和中位数弄混了。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2017 全国Ⅰ卷（文科）第 19 题 · 解答

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。一天内按抽取次序1—16得到的数据依次为： 9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95。经计算得 $x ˉ = \frac{1}{16} \sum x_{i} = 9.97$ ， $s = \frac{1}{16} \sum (x_{i} - x ˉ)^{2} \approx 0.212$ ， $\sum_{i = 1}^{16} (i - 8.5)^{2} \approx 18.439$ ， $\sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - x ˉ) (i - 8.5) = - 2.78$ 。一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(x ˉ - 3 s, x ˉ + 3 s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。 (i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (ii)在该区间之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）。附： $0.008 \approx 0.09$ 。

答案与解析

答案：(i)需要检查，9.22 cm是离群值；(ii)剔除后均值10.02 cm，标准差约0.09 cm。

思路

先按原样本的三倍标准差区间识别离群值，再对剩余15个数据重新计算。

计算检查区间
$x ˉ \pm 3 s \approx 9.97 \pm 3 (0.212)$ ，得到 $(9.334, 10.606)$ cm。精确用原数据计算的边界约9.333和10.607，不影响本题离群判断。
定位离群值并判断
第13次测得9.22 cm，低于区间下界，其余数据均在区间内。按题给判据，该天可能出现异常，需要检查生产过程。
重新计算均值
删去9.22后，剩余15个数据总和为150.30，所以 $x ˉ_{new} = 150.30/15 = 10.02$ cm。
重新计算标准差
剩余数据的平方和为1506.1282，故 $s_{new}^{2} = 1506.1282/15 - (10.02)^{2} \approx 0.00814667$ ， $s_{new} \approx 0.09026$ cm，精确到0.01为0.09 cm。

易错点

判定离群值要先用原样本区间，不能随意先删数据再决定它是否异常。
这里只在题给规则下为估计量剔除离群值；实际质量管理还应保留异常记录并调查原因。

小结

异常值会同时影响均值与标准差，修正估计之前先说明判据。

2023 全国乙卷（理科）第 17 题 · 解答

某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理。甲、乙处理后的伸缩率分别记为 $x_{i}, y_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)$ 。按试验序号1—10，数据依次为：甲工艺：545，533，551，522，575，544，541，568，596，548；乙工艺：536，527，543，530，560，533，522，550，576，536。记 $z_{i} = x_{i} - y_{i}$ ，差值样本均值为 $z ˉ$ ，样本方差为 $s^{2}$ 。 (1)求 $z ˉ, s^{2}$ ； (2)判断甲工艺处理后的伸缩率较乙工艺处理后是否有显著提高。如果 $z ˉ \geq 2 s^{2} /10$ ，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高。

答案与解析

答案：(1) $z ˉ = 11, s^{2} = 61$ ；(2)按题给规则，甲工艺伸缩率有显著提高。

思路

配对试验要先对每一对作差，再分析差值；不要把两组当成互不关联的样本。

保留配对关系求差值
按试验序号相减，差值依次为9、6、8、-8、15、11、19、18、20、12，总和为110，平方和为1820。
计算差值均值与方差
$z ˉ = 110/10 = 11$ 。按本题高中样本方差口径， $s^{2} = \frac{1}{10} \sum z_{i}^{2} - z ˉ^{2} = 182 - 121 = 61$ 。
代入题给判断式
$2 s^{2} /10 = 2 61/10 \approx 4.94$ 。因 $11 > 4.94$ ，满足 $z ˉ \geq 2 s^{2} /10$ ，按题给规则认为甲工艺有显著提高。
说明结论所依赖的设计
同一次配对使用材质相同的两个产品，并随机分配处理工艺，这有助于降低材质差异对工艺比较的干扰。结论使用的是题目规定的判据。

易错点

不能打乱对应顺序后再相减，否则破坏配对。
题目所用样本方差分母为10，不是其他课程中无偏方差的9；应清楚说明口径。

小结

配对设计把个体背景差异尽量抵消，分析单位应转为每一对的差值。