9.2 用样本估计总体

A。甲的分数都挤在 $8$ 附近，最多差 $1$ 分；乙从 $6$ 到 $10$，上下差得多。

平均数一样，数据的「样子」却不一样。只看一个数不够：要看中间在哪（平均数、中位数、众数），也要看散得多开（方差、标准差），还可以画图看整体分布。这一节就讲这些工具，以及怎样用一份样本去估计总体。

B。频率 $=$ 面积 $=$ 高 $\times$ 组距 $=0.04\times 5=0.2$。选 A 的同学误把纵轴的高当成了频率；选 C 是除了组距。

B。排序得 $2,4,5,7,9,10,12,15$，$i=8\times 75\%=6$ 为整数，取第 6 位（10）与第 7 位（12）的平均值 $\frac{10+12}{2}=11$。选 A 是未取平均；选 D 是没排序。

B。先排序：$2,4,4,6,9$，正中间是 $4$。选 A 是没排序；5 是平均数，不是中位数。

A。$\bar{x}=4$，离差平方为 $4,0,4$，总和为 8，除以 $n=3$ 得 $\frac{8}{3}$。选 C 是忘记除以 3；选 B 是除以了 $n-1=2$，高考教材分母一律为 $n$。

C。频率 $=0.025\times 10=0.25$，频数 $=200\times 0.25=50$。选 A 是把高 $0.025$ 当频率直接乘了 $200$；选 D 只算到频率，没乘样本量。

C。$i=12\times 70\%=8.4$，不是整数，往上取整，取第 $9$ 位：$145$。选 A 是往下取了第 $8$ 位；选 B 是把「取两位平均」用在了 $i$ 不是整数的时候。

C。比的是面积：$0.02\times 10=0.2$，$0.02\times 20=0.4$，后者是前者的 $2$ 倍。纵轴是「频率÷组距」，组距不同时只看高度会看错。

A。$\bar{x}=4$，差的平方 $9,1,1,9$，和 $20$，除以 $n=4$ 得 $5$。B 是除以 $n-1=3$，本书不用这个分母；C 忘了除；D 是标准差，不是方差。

C。平均数按人数加权：$\frac{20\times 70+30\times 80}{50}=\frac{3800}{50}=76$，不是 $\frac{70+80}{2}=75$。

方差不能只看两组各自的 $4$：两组平均数不一样，本身就是波动。甲组每人离 $76$ 的平方，平均是 $4+(70-76{)}^2=40$；乙组是 $4+(80-76{)}^2=20$。再按人数加权：$\frac{20\times 40+30\times 20}{50}=\frac{1400}{50}=28$。

B。前两组频率 $0.1+0.3=0.4$，到 $0.5$ 还差 $0.1$。$[4,6)$ 组频率 $0.35$、组距 $2$，要走 $2\times \frac{0.1}{0.35}=\frac{4}{7}$，所以中位数约 $4+\frac{4}{7}\approx 4.57$。

A 的 $4.5$ 是用组中点估计的平均数：$1\times 0.1+3\times 0.3+5\times 0.35+7\times 0.25=4.5$；C 只取了中位数所在组的中点。这些都是估计：只有分组时，原来的 $100$ 个数已经找不回来了。