10.1 随机事件与概率

掷一颗普通的骰子，$1$ 到 $6$ 点朝上的机会一样。点下面的按钮高亮对应的点数看看：

1. 先认识几个词

要用到：集合、子集、交集、并集、补集（回看 1.1、1.2、1.3）。这一节的事件就是集合，运算也是集合运算。

核心辨析

互斥事件：$A\cap B=\varnothing$，两件事不可能同时发生。但可能同时都不发生（例如掷骰子「点数为 1」与「点数为 2」）。

对立事件：$A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$，两件事必有且仅有一件发生（例如掷骰子「偶数」与「奇数」）。

口诀：对立必互斥，互斥未必对立。对立是全集划分，恒有 $P(\overline{A})=1-P(A)$。

思维陷阱

基本事件：构成样本空间的单元素子集，古典概型要求等可能性（每个点权重均为 $\frac{1}{n}$）。

类别合并：将结果按某种特征粗暴归类（如两枚硬币正面数 0, 1, 2）。各类别含样本点数不同，不再等可能！

警惕：抛两枚硬币「一正一反」包含（正反）与（反正）两点，概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，绝非三类平分的 $\frac{1}{3}$！

2. 先写对样本空间

算概率之前，先说清楚做的是什么试验、结果怎么记，再把样本点一个不漏、一个不重地列出来。列表或画树状图最不容易漏。

3. 事件的关系和运算

事件是集合，所以集合的关系和运算都能用，只是要读成「事情」：

• 包含 $A\subseteq B$：$A$ 发生，$B$ 一定发生。
• 并事件 $A\cup B$（也写 $A+B$）：$A$、$B$ 至少一个发生。
• 交事件 $A\cap B$（也写 $AB$）：$A$、$B$ 同时发生。
• 互斥：$A\cap B=\varnothing$，两件事不能同时发生。
• 对立：$A\cap B=\varnothing$ 并且 $A\cup B=\Omega$，每次恰好发生一个。$A$ 的对立事件记作 $\overline{A}$。

4. 古典概型：数个数，做除法

一个试验如果满足两条：

1. 有限：样本点只有有限个；
2. 等可能：每个样本点出现的机会一样大，

就叫古典概型。这时 $\Omega$ 有 $n$ 个样本点、事件 $A$ 含 $k$ 个，那么

为什么：$n$ 个结果机会一样，每个分到 $\frac{1}{n}$，$A$ 占了 $k$ 个，就是 $\frac{k}{n}$。

5. 概率的基本性质

从「数个数」马上能看出这几条：

• $0\le P(A)\le 1$；$P(\Omega )=1$，$P(\varnothing )=0$。
• $A\subseteq B$ 时 $P(A)\le P(B)$：$A$ 的样本点都在 $B$ 里，个数不会更多。
• 互斥时 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$：没有公共样本点，个数直接相加。
• 对立时 $P(\overline{A})=1-P(A)$。
• 一般情形：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。公共部分在 $P(A)$、$P(B)$ 里各算了一次，多算了一次，要减掉。

6. 三步破题思维链：古典概型解题标准动作

1

第一眼破题信号

审清试验操作（放回还是不放回、先后有序还是同时无序），判定是否满足古典概型两大特征：有限性与等可能性。确立样本点记法（列表法或坐标数对），计算基本事件总数 $n$。

2

第二步套公式/方法

确定目标事件 $A$ 包含的样本点数 $m$：出现“至少/至多/不同”时，优先考察对立事件 $\overline{A}$；若满足互斥，利用拆分加法 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；一般情况套用公式 $P(A)=\frac{m}{n}$。

3

第三步必查防坑结论

检查样本点是否不重不漏；分子分母约分为最简分数；互斥相加前必须确认交集为空，否则须扣除 $P(A\cap B)$；概率值必须严格满足 $0\le P(A)\le 1$。

7. 三大翻车现场与反例辨析

再深一点（可以先跳过）

「有限」这一条：在 $0$ 到 $1$ 之间随便取一个实数，可能的结果有无穷多个，没法「数个数」，古典概型的公式用不了。这类问题以后另有办法。

概率为 $0$ 和不可能事件：在本节这种有限、等可能的模型里，$P(A)=0$ 就说明 $A$ 一个样本点都没有，也就是 $A=\varnothing$。到了样本点无穷多的模型里，「概率是 $0$」和「不可能发生」不一定是一回事，现在先只在给定的有限模型里说。

三个事件的并：$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$。道理一样：多算的减掉，减多了的再加回来。

两种写法：教材里 $A\cup B$ 也写成 $A+B$，$A\cap B$ 也写成 $AB$，意思相同。

① 两颗骰子：点出事件，数出概率

每个格子是一个样本点 $(i,j)$：行是红骰子 $i$，列是蓝骰子 $j$。先选「编辑 A」或「编辑 B」，再点格子把它加进或移出这个事件；也可以点下面的现成事件。键盘：选中图后用方向键移动方框，空格或回车切换。

② 进阶：合成类别后，还等可能吗

抛 $n$ 枚硬币，样本点有 $2^n$ 个，按「正面有几枚」合成 $n+1$ 类。柱子高度是每类含的样本点个数。选一类，比较真实概率和「每类一样」的错误算法。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

易错

挑战

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。