7.2 复数的四则运算

A。很自然！实部 $1+3=4$，虚部 $2+4=6$，合起来就是 $4+6i$。

复数的加减法，跟多项式合并同类项一模一样：实部与实部算，虚部与虚部算。

那如果遇到两个虚数相乘（会出现 $i^2$），或者除法（分母上有 $i$），该怎么算？这一节我们就把复数的加、减、乘、除四则运算与几何意义一次讲透。

B。实部相减：$2-4=-2$；虚部相减：$3-(-1)=4$，所以结果为 $-2+4i$。选 A 的同学把虚部算成了 $3-1=2$（漏掉负负得正）。

A。展开：$2-i+4i-2i^2=2+3i-2(-1)=4+3i$。选 B 的同学忘了算常数项 $2-(-2)=4$。

D。分子分母同乘 $1-i$：$\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(1-i)}{1-i^2}=\frac{2(1-i)}{2}=1-i$。选 B 的同学分子乘了共轭，分母却忘了乘以共轭。

A。展开得 $2-4i+i-2i^2=2-3i-2(-1)=4-3i$。

选 B 的同学漏算了 $-2i^2=+2$；选 C 的同学虚部符号搞反。

B。先化简 $z$：分子分母同乘 $1+i$，得 $z=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+i+i^2}{1-(-1)}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$。

注意题目问的是共轭复数 $\overline{z}$，虚部变号，得 $\overline{z}=1-2i$。选 A 的同学直接选了 $z$ 而忘了求共轭！

B。实数根式的乘法公式 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 要求 $a,b\ge 0$；本题两个因子中的 $i$ 不能丢掉。

两因子已写明是 $\sqrt{3}i$ 与 $2\sqrt{3}i$。相乘得 $(\sqrt{3}i)(2\sqrt{3}i)=6i^2=-6$。

若只算 $\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6$ 而漏掉 $i^2=-1$，就会误得正六。这里不引入负数根式的主值约定。

C。因为 $i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$，连续四项之和 $i+i^2+i^3+i^4=0$。以 4 为周期循环。

一共有 2026 项，$2026÷4=506$ 余 $2$。因此前 $506\times 4=2024$ 项全部抵消为 0，只剩下最后两项：$i^{2025}+i^{2026}=i^1+i^2=i+(-1)=-1+i$。

B。复数没有本章意义下的大小顺序，只要含有非零虚部，两个复数就绝不能写大于号或小于号！A、C、D 都是严重的概念错误。

但是，模长 $|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$|z_2|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，模长是实数，可以比较大小，$|z_1|>|z_2|$。

A。注意 $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$ 是实数，所以等式为 $(1+i)z=5+3i$。

方法一（速算模长）：两边同时取模，$|(1+i)z|=|1+i|\cdot |z|=\sqrt{2}|z|$。右边模长 $|5+3i|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。所以 $|z|=\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{2}}=\sqrt{17}$。

方法二（先求 $z$）：$z=\frac{5+3i}{1+i}=\frac{(5+3i)(1-i)}{2}=\frac{8-2i}{2}=4-i$，则 $|z|=\sqrt{4^2+(-1{)}^2}=\sqrt{17}$。