2.2 基本不等式

第 1 步

从例子进入

一根 $20$ 厘米的铁丝，围成一个长方形。长和宽加起来总是 $10$ 厘米，可围法不同，面积不一样。先点下面的按钮，亲手把铁丝框变形看看：

想一想

下面四种围法，哪种面积最大？

看答案与解析

答案：D

算一算： $9 \times 1 = 9$ ， $7 \times 3 = 21$ ， $6 \times 4 = 24$ ， $5 \times 5 = 25$ 。D 最大。

看上面的方格图：长宽的和都是 $10$ ，扁长条（ $9 \times 1$ ）只占 $9$ 格；两条边越接近，围出的方格越多；正好相等成正方形（ $5 \times 5$ ）时达到满格 $25$ 。

这一节就讲这件事：两个正数，和一定时，积在它们相等时最大；反过来，积一定时，和在它们相等时最小。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词：从「拉平木条」与「跷跷板」建立直觉

前置知识：算术平方根（初中）；2.1 不等式基本性质（回看 2.1）。不用死背名词，先看下面两幅图：

√ab=4 比 (a+b)/2=5 短 1：面积相同的正方形，边长比拉平的高度短，右边的蓝色虚线框多出的就是这一截。

2. 核心定理：为什么 $ab \leq \frac{a + b}{2}$ 永远成立？

对任意两个正数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，都有：

a+b=10

91

2√ab=6

334

虚线框是缺口：a+b−2√ab=(√a−√b)²

a=9，b=1 时缺口 (√9−√1)²=4，大于 0，所以 a+b>2√ab。

3. 招式一：积一定，求和的最小值（分子分母互消型）

试着用波利亚四问走一遍：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示，也可以直接看示范；发现条件不合适，就返回重新选方法。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

已知 $x > 0$ ，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值。

① 读懂题意： $x$ 可以取任意正数。我们既要找一个所有这些值都不低于的数，还要说明它确实能取到。只代几个数，能保证没有更小的吗？

提示 1：先找不变量

把式子看成两项。 $x$ 增大时，一项变大，另一项变小；试算两项的积，未知数能消掉吗？

提示 2：从结构选方法

两项都为正、积又固定，哪个结论能把它们的和压在一个常数上方？先写出不等式，再想两项相等时是否符合 $x > 0$ 。

看完整示范：选方法、计算与检验

② 想办法：为什么选基本不等式？题目给了 $x > 0$ （正数）；要求和的最小值，而两项一乘： $x$ $\cdot$ $\frac{4}{x}$ $= 4$ ，分子分母的 $x$ 恰好约掉变成定值 $4$ （定值）！
③ 执行计划：用基本不等式求下界直接代入 $a + b \geq 2 ab$ ： $x + \frac{4}{x} \geq 2 x \cdot \frac{4}{x} = 24 = 4$ 。
执行中检查：下界能取到吗？ 没验等号不准交卷！当且仅当两项相等，即 $x = \frac{4}{x} ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x = 2$ 时取等号。因为 $x = 2$ 满足 $x > 0$ （真能取到），所以最小值为 $4$ 。

④ 回头看：换个角度验算： $x + \frac{4}{x} - 4 = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x} \geq 0$ ，等号恰在 $x = 2$ 。本题的关键是两正项的积固定，且相等时的取值合法。若增加限制 $x \geq 3$ ，原来的等号还能成立吗？到「练一练」第 4 题检验你的判断。

想一想

自己试试： $x > 0$ ， $x + \frac{9}{x}$ 的最小值是？

需要一点方向？

与例 1 比较：哪项条件没变？先找两项的积，再检验相等时的 $x$ 是否在允许范围内。

看答案与解析

答案：B

B。① 正： $x > 0$ ；② 定：积 $x \cdot \frac{9}{x} = 9$ 是定值，故 $x + \frac{9}{x} \geq 29 = 6$ ；③ 等：当且仅当 $x = \frac{9}{x}$ 即 $x = 3$ 时取到。选 A 的同学只算了 $9$ ，漏乘了公式前面的 $2$ ！

4. 招式二：和一定，求积的最大值（周长固定围面积型）

想一想

自己试试： $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 8$ ， $x y$ 的最大值是？

看答案与解析

答案：C

C。 $x y \leq \frac{8}{2} = 4$ ，两边平方得 $x y \leq 16$ ，当且仅当 $x = y = 4$ 时取到。选 A 的同学停在了 $x y \leq 4$ ，忘了平方！

5. 用之前必查：「一正、二定、三相等」三大翻车现场

基本不等式看着简单，但考场上十个错九个是因为漏查了下面三件事之一：

再深一点（可以先跳过）

对任意实数都成立的一条： $(a - b)^{2} \geq 0$ 展开得 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ， $a, b$ 正负都行，等号也在 $a = b$ 时取到。别和 $a + b \geq 2 ab$ 混：后者要求 $a, b$ 不是负数， $a = b = - 1$ 时 $a + b = - 2$ ， $2 ab = 2$ ，就错了。

允许非负数： $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ 时结论照样成立（其中有一个为 $0$ 时， $ab = 0$ ）。课本按正数写，知道 $0$ 也对就行。

几何上看（半圆模型）：线段长 $a + b$ ，被点 $C$ 分成 $a$ 、 $b$ 两段，以它为直径画半圆，过 $C$ 的垂线交半圆于 $D$ 。由射影定理/相似三角形可知半弦 $C D = ab$ ，而半径 $O D = \frac{a + b}{2}$ ，由直角三角形 $O C D$ 可知 $C D \leq O D$ （ $C = O$ 时直接有等号）。下一步「动手」①可以亲手拖着看。

连用两次基本不等式的陷阱：一道题里连续用两次基本不等式时，两处的等号条件必须能同时成立，否则算出的下界取不到。「练一练」最后一题就是这种。

第 3 步

动手

① 半圆：拖点 C，比较半弦和半径

直径长 $a + b = 8$ 。拖动点 $C$ （或选中后按方向键）改变 $a$ 。金色线 $C D = ab$ ，蓝线是半径 $O D = \frac{a + b}{2} = 4$ 。把 $C$ 拖到正中间看看。

a=2，b=6：√ab=CD≈3.46，(a+b)/2=OD=4。√ab 比 (a+b)/2 小 0.54。a 和 b 差得越多，差距越大。

② 进阶：等号取不到时，最小值在哪

看 $f (x) = x + \frac{k}{x}$ ，只在 $x \geq m$ 上取值。基本不等式给出 $f (x) \geq 2 k$ ，等号要 $x = k$ 。先保持 $m$ 很小，看最小值在 $x = k$ ；再把 $m$ 拖过 $k$ ，看最小值怎么变。圆点 $P$ 也能拖。

蓝虚线是下界 2√k；下界线上的橙点是等号点，实心表示等号取得到，空心表示取不到；取不到时，曲线上另一个实心橙点是范围内的最小值。纵轴会随点 P 的高度调整，曲线与点始终用同一刻度，图窗外的部分裁去。

f(x)=x+4/x，x≥0.1。基本不等式：f(x)≥4，等号要 x=2。2≥0.1，等号取得到：最小值 4，在 x=2 处。点 P：f(3)≈4.33，比下界多 0.33。

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间两道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

$x > 0$ ， $2 x + \frac{8}{x}$ 的最小值是？

看答案与解析

答案：A

A。两个正数 $2 x$ 和 $\frac{8}{x}$ ，积 $2 x \cdot \frac{8}{x} = 16$ 是定值，所以和 $\geq 216 = 8$ 。等号要 $2 x = \frac{8}{x}$ ， $x = 2$ ，能取到。选 B 的同学只算了 $16$ ；选 C 是代了 $x = 1$ ，那只是一个值，不是最小的。

想一想

$x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 4$ ， $x y$ 的最大值是？

看答案与解析

答案：B

B。和是定值的是 $2 x$ 与 $y$ （不是 $x$ 与 $y$ ），先凑出来： $x y = \frac{1}{2} \cdot (2 x) \cdot y \leq \frac{1}{2} (\frac{2 x + y}{2})^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ 。等号要 $2 x = y$ ，配上 $2 x + y = 4$ 得 $x = 1$ ， $y = 2$ 。选 C 的同学把 $x$ 、 $y$ 当成和为 $4$ 了。

易错

想一想

$x$ 是不等于 $0$ 的实数。 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是？

看答案与解析

答案：C

C。「正」这一条不满足：题目没说 $x > 0$ 。取 $x = - 1$ ，值是 $- 2$ ；取 $x = - 10$ ，值是 $- 10.1$ ； $x$ 往负的方向走，值要多小有多小。

A 只在 $x > 0$ 时对。B 的 $- 2$ 是 $x < 0$ 时的最大值，不是最小值。

想一想

$x \geq 3$ ， $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是？

先回顾例 1：式子相同，只有取值范围改变。原解答中的哪一步需要重新检查？先独立判断，卡住再看提示。

提示 1：下界还是最小值？

先解两项相等的方程，再与 $x \geq 3$ 比较。某个下界取不到，并不代表函数没有最小值。

提示 2：换一条路线找候选值

在「动手」②中设 $k = 4, m = 3$ ，观察允许范围内的最低处。图只能帮助猜测；还要把原式减去候选值，证明差对所有 $x \geq 3$ 都非负。

看答案与解析

答案：B

B。「等」这一条不满足： $x + \frac{4}{x} \geq 4$ 没错，但等号要 $x = 2$ ，不在 $x \geq 3$ 里， $4$ 只是下界。在「动手」②里把 $k$ 调成 $4$ 、 $m$ 调成 $3$ ：这一段一直往上走，最低点在端点 $x = 3$ ，值是 $3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$ 。代数验证不需要等到后面章节：当 $x \geq 3$ 时， $x + \frac{4}{x} - \frac{13}{3} = \frac{( x - 3 ) ( 3 x - 4 )}{3 x} \geq 0.$ 分母为正，分子两因式非负，且等号当且仅当 $x = 3$ ，所以这就是最小值。

回顾与迁移：改条件后，基本不等式仍成立，失效的是「下界能够取到」这一步。下次遇到范围限制，先检验等号；必要时回到计划，用图找候选、用代数证明，别照搬上一题的最小值。

挑战

想一想

$a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ 。 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是？

看答案与解析

答案：B

B。常见错法： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{ab}$ ，又 $1 = a + 2 b \geq 2 2 ab$ ，两步一接得 $\geq 42$ 。可第一步等号要 $a = b$ ，第二步要 $a = 2 b$ ，不可能同时成立， $42$ 取不到。

正确做法只用一次： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a + 2 b) = 3 + \frac{2 b}{a} + \frac{a}{b} \geq 3 + 22$ ，等号在 $a = 2 b$ 时取到，配上 $a + 2 b = 1$ 得 $b = \frac{2 - 2}{2}$ 、 $a = 2 - 1$ ，都是正数，能取到。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2013 重庆卷（理科）第 3 题 · 单选

$(3 - a) (a + 6) (- 6 \leq a \leq 3)$ 的最大值为（　）。

看答案与解析

答案：B

根号下两因子非负且和为9，用两数的算术平均控制几何平均。

检查条件并估计上界

当 $- 6 \leq a \leq 3$ 时， $3 - a \geq 0$ 、 $a + 6 \geq 0$ 。由基本不等式， $(3 - a) (a + 6) \leq \frac{( 3 - a ) + ( a + 6 )}{2} = \frac{9}{2}$ 。

检查等号能否达到

等号要求 $3 - a = a + 6$ ，得 $a = - \frac{3}{2}$ ，确实属于给定区间。此时两个因子都为 $\frac{9}{2}$ ，原式等于 $\frac{9}{2}$ ，故最大值为 $\frac{9}{2}$ ，选 B。

固定和求乘积上界，要同时交代非负、定和与可取的等号点。

2025 北京卷第 6 题 · 单选

已知 $a > 0, b > 0$ ，则（　）。

看答案与解析

答案：C

恒成立结论需要覆盖所有正数，先查基本不等式及等号。

证明 C

由基本不等式 $a + b \geq 2 ab$ ，而 $ab > 0$ ，故 $a + b > ab$ 。

排除 A 与 B

A 在 $a = b = 1$ 时两边相等；B 取 $a = b = 1/4$ ，左边为 8，右边为 16，不成立。

排除 D

取 $a = 1, b = 4$ ，D 左边为 $5/4$ ，右边为 1，不成立。故选 C。

证明恒成立要用一般推导；否定恒成立只需一个合法反例。

2.2 基本不等式

从例子进入

讲清楚

1. 先认识几个词：从「拉平木条」与「跷跷板」建立直觉

2. 核心定理：为什么 ab​≤2a+b​ 永远成立？

3. 招式一：积一定，求和的最小值（分子分母互消型）

4. 招式二：和一定，求积的最大值（周长固定围面积型）

5. 用之前必查：「一正、二定、三相等」三大翻车现场

动手

① 半圆：拖点 C，比较半弦和半径

② 进阶：等号取不到时，最小值在哪

练一练

直接用

易错

挑战

高考真题

2. 核心定理：为什么 $ab \leq \frac{a + b}{2}$ 永远成立？