5.2 导数的运算

B。看上面的彩色分块图就一清二楚了：

长和宽各长出一小条时，新增面积分成三块：右侧竖条为 $u^{\prime }\Delta t\cdot v=3\Delta t$，上方横条为 $u\cdot v^{\prime }\Delta t=4\Delta t$，右上角小方块为 $\Delta u\cdot \Delta v=(\Delta t{)}^2$，单位都是平方米。故 $\Delta (uv)=7\Delta t+(\Delta t{)}^2$。

把新增面积除以时间间隔，平均增长率是 $\frac{\Delta (uv)}{\Delta t}=3+4+\Delta t$，单位是平方米/秒；当 $\Delta t\to 0$ 时趋于 $7$。所以乘积的导数是两条长边除以 $\Delta t$ 后的贡献之和：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，并非 $u^{\prime }{v}^{\prime }$。这一节继续学习基本初等函数的导数与四则、简单复合运算。

A。$y=x^{-2}$，$y^{\prime }=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$。选 B 是把分母直接求导；选 C 丢了负号；选 D 是指数没减 1。

D。分子 $=(x{)}^{\prime }\cos x-x(\cos x{)}^{\prime }=\cos x-x(-\sin x)=\cos x+x\sin x$，所以 $y^{\prime }=\frac{\cos x+x\sin x}{{\cos }^{2}x}$。

选 A 忘了 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ 的负号；选 B 是分子分母分别求导相除；选 C 是减法顺序反了。

B。$a=-2$，$f^{\prime }(x)=-2e^{-2x}$，$f^{\prime }(0)=-2e^0=-2$。选 A 是忘了乘内层系数；选 C 丢了负号；选 D 是把 $e^0$ 当成了 $e$。

B。求导函数：$f^{\prime }(x)=2x-3+\frac{1}{x}$。代入 $x=1$：$f^{\prime }(1)=2(1)-3+\frac{1}{1}=2-3+1=0$。此时曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线为水平切线！

A。根据线性内层复合函数求导法则 $[f(ax+b){]}^{\prime }=a{f}^{\prime }(ax+b)$：内层 $u=2x-1$ 的导数为 2，外层正弦导数为余弦。因此 $f^{\prime }(x)=2\cos (2x-1)$。

C。商的法则：$f^{\prime }(x)=\frac{(x{)}^{\prime }{e}^x-x(e^x{)}^{\prime }}{(e^x{)}^2}=\frac{1\cdot e^x-x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$。严防分子减法次序颠倒写成 $x-1$！

D。求导 $y^{\prime }=e^x+1$。在点 $(0,1)$ 处的导数值（切线斜率）为 $k=y^{\prime }{|}_{x=0}=e^0+1=1+1=2$。由点斜式：$y-1=2(x-0)⟹y=2x+1$。

B。直线 $y=kx$ 过原点 $(0,0)$，这是典型的「过原点切线」问题！设切点为 $(t,\ln t)$。求导 $y^{\prime }=\frac{1}{x}⟹$ 切线斜率 $k=\frac{1}{t}$。切线方程为 $y-\ln t=\frac{1}{t}(x-t)$。代入原点 $(0,0)$：$-\ln t=-1⟹\ln t=1⟹t=e$。因此斜率 $k=\frac{1}{t}=\frac{1}{e}$（极度经典的对数过原点切线结论！）。