10.2 事件的相互独立性

两件事「互不影响」，在数学里用一个等式来说： $P (A B) = P (A) P (B)$ 。它和「互斥」是两回事，判断它要靠算或靠试验本身，不能凭感觉。先从一枚硬币和一颗骰子开始。

本节知识点事件的并、交、互斥与对立古典概型与等可能性概率的基本性质与加法事件独立性及其概率

第 1 步

从例子进入

先抛一枚硬币，再掷一颗骰子。硬币有正、反 $2$ 种结果，骰子有 $1 \sim 6$ 共 $6$ 种，合起来 $2 \times 6 = 12$ 种等可能结果。点下面的按钮在 $2 \times 6$ 棋盘上看看：

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想一想

「硬币正面朝上，并且骰子掷出 $6$ 」的概率是多少？

看答案与解析

答案：A

A。 $12$ 种结果里，只有「正， $6$ 」这一种符合，概率 $\frac{1}{12}$ 。

再看：硬币正面的概率是 $\frac{1}{2}$ ，骰子掷出 $6$ 的概率是 $\frac{1}{6}$ ，而 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ ，正好是两个概率相乘。

硬币怎么落，不影响骰子怎么落，所以能乘。这一节就讲：什么样的两个事件能这样相乘（叫「相互独立」），怎么判断，以及它和「互斥」有什么不同。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：10.1 的样本空间、古典概型、事件的关系和运算（回看 10.1）。

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核心对决

相互独立：用 $P (A B) = P (A) P (B)$ 定义。若 $P (A) > 0$ ，才可等价地说 $P (B ∣ A) = P (B)$ 。独立不要求两个概率都为正，也不保证交集非空。

互斥事件：两事件不可能同时发生， $A B = \emptyset ⟹ P (A B) = 0$ 。这描述集合关系，独立描述概率的乘积关系。

若 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，互斥必不独立，独立必不互斥。边界例子： $A = \emptyset$ 时，它与任意 $B$ 既互斥又独立，因为 $0 = 0 \cdot P (B)$ 。

抽样对比

有放回抽样：每次放回后充分混匀，并独立地随机抽取，才可用各次抽取独立的模型，各步概率相乘。

不放回抽样：后次抽样的总体组成通常因前次结果而变，不能直接假设独立。先计算条件概率；是否独立仍由 $P (A B) = P (A) P (B)$ 判断。

提醒：大样本抽样（如数万件中抽数件）虽不放回，但因基数极大，可近似看作相互独立处理。

2. 什么叫相互独立

入门题里，「硬币正面」和「骰子是 $6$ 」同时发生的概率，正好等于两个概率相乘。我们就用这个等式来定义「互不影响」：

为什么是相乘：两步各自进行时，样本点是「第一步的结果 $\times$ 第二步的结果」。 $A$ 只看第一步、 $B$ 只看第二步，那么 $A B$ 的个数 $=$ $A$ 的个数 $\times$ $B$ 的个数，除以总数，就是概率相乘。

想一想

自己试试：掷两颗骰子， $A =$ 「第一颗是偶数」， $B =$ 「点数和为 $8$ 」。 $A$ 与 $B$ 独立吗？

看答案与解析

答案：B

B。 $B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}$ ，只有 $5$ 格， $P (B) = \frac{5}{36}$ ； $A B = {(2, 6), (4, 4), (6, 2)}$ ， $P (A B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ 。而 $P (A) P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{72}$ ， $\frac{1}{12} = \frac{6}{72} \neq = \frac{5}{72}$ ，不独立。和为 $7$ 独立，不等于和为 $8$ 也独立；常见的错是照例 1 类推，或者把和为 $8$ 也数成 $6$ 格。

3. 已知独立，就用乘法

实际问题里，独立通常来自试验本身：两个人各自射击、两台机器各自运转、摸球后放回再摸……一次的结果碰不到另一次。题目说「相互独立」也算。这时直接用 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。

还有一条常用： $A$ 与 $B$ 独立，那么 $A$ 与 $B$ 、 $A$ 与 $B$ 、 $A$ 与 $B$ 也都独立（「甲没中」和「乙没中」照样互不影响），「都不发生」也能用乘法。

想一想

自己试试：两个开关各自工作，正常的概率分别是 $0.9$ 和 $0.7$ ，互不影响。至少一个正常的概率是？

看答案与解析

答案：B

B。对立事件是「两个都不正常」，概率 $(1 - 0.9) \times (1 - 0.7) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$ ，所以至少一个正常是 $1 - 0.03 = 0.97$ 。选 A 的同学算的是「两个都正常」；选 C 的同学以为是 $0.9$ 加上剩下的部分，没走乘法。

4. 三步破题思维链：独立事件解题标准动作

第一眼破题信号

寻找题目中的独立源泉（“各自射击/相互独立/有放回抽样”），理清涉及的各基本事件 $A, B, C$ 。分清所求目标是“全部发生”（积事件）、“至少发生一个”（对立求逆）还是“恰有一件发生”（互斥拆分）。

第二步套公式/方法

① 求全发生：直接相乘 $P (A B) = P (A) P (B)$ ； ② 求“至少一人/台发生”：正难则反，套用逆向对立公式 $P = 1 - P (A B) = 1 - (1 - P (A)) (1 - P (B))$ ； ③ 求“恰好一人发生”：按互斥分类写成 $A B + A B$ ，分别相乘后求和。

第三步必查防坑结论

核查独立性前提（不放回抽样不能把两次原概率原样相乘，先按剩余组成重算后次概率）；核查加法对象是否互斥（独立事件不可盲目直接相加）；最终算出的概率值必须落在 $[0, 1]$ 闭区间内。

5. 三大翻车现场与反例辨析

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再深一点（可以先跳过）

为什么换成对立事件还独立： $A B$ 和 $A B$ 互斥，合起来是 $A$ ，所以 $P (A B) = P (A) - P (A B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (B)$ 。另外两种同理。

两两独立，不等于三个一起独立：抛两枚硬币， $A =$ 「第一枚正」， $B =$ 「第二枚正」， $C =$ 「两枚一样」。三个概率都是 $\frac{1}{2}$ ， $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 都只有「正正」一种，概率 $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ ，两两独立。可 $A B C$ 也只有「正正」， $P (A B C) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{8}$ 。三个事件「相互独立」要求两两独立，并且 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ 。像几个人各自射击、各自破译这类，从试验本身就能确定相互独立。

概率为 $0$ 的事件：比如不可能事件 $\emptyset$ ， $P (\emptyset B) = 0 = 0 \times P (B)$ ，它和任何事件都独立，同时也和任何事件互斥。所以「互斥就不独立」一定要带上「两个概率都是正的」。

第 3 步

动手

① 两颗骰子：选两个事件，看独不独立

$6 \times 6$ 的格子是掷两颗骰子的 $36$ 种结果（行是第一颗，列是第二颗）。选好 $A$ 、 $B$ ，格子标出 $A$ 、 $B$ 、 $A B$ ，下面算 $P (A B)$ 和 $P (A) P (B)$ 。试试「点数和为 $7$ 」和「点数和为 $8$ 」，再试试一对互斥的。

互动演示载入中

② 进阶：自己画一个事件 B

点格子（或选中图后用方向键移动、空格切换），把它放进或拿出 $B$ 。试着画一个和 $A$ 互斥、又和 $A$ 独立的 $B$ ， $B$ 不能是空的——看看为什么做不到。

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

想一想

掷两颗骰子， $A =$ 「第一颗点数 $\leq 2$ 」， $B =$ 「第二颗是 $6$ 」。 $P (A B) =$ ？

看答案与解析

答案：A

A。两颗骰子各掷各的， $A$ 只看第一颗、 $B$ 只看第二颗，独立。 $P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ， $P (A B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ 。数格子也一样： $(1, 6), (2, 6)$ 两格， $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ 。B 是把两个概率加起来了；D 是只数了一格。

想一想

甲、乙两人各自参加一次考试，及格的概率分别是 $0.7$ 和 $0.5$ ，互不影响。恰有一人及格的概率是？

看答案与解析

答案：B

B。「甲过乙不过」 $0.7 \times 0.5 = 0.35$ ，「甲不过乙过」 $0.3 \times 0.5 = 0.15$ ，两种互斥，相加得 $0.5$ 。A 只算了一种（也是「都及格」的概率）；C 是「至少一人及格」 $1 - 0.3 \times 0.5 = 0.85$ ；D 直接相加，超过了 $1$ 。

易错

想一想

掷一颗骰子， $A =$ 「点数是 $1$ 或 $2$ 」， $B =$ 「点数是 $5$ 或 $6$ 」。下面哪句对？

看答案与解析

答案：B

B。没有公共点数，互斥， $P (A B) = 0$ ；但 $P (A) P (B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \neq = 0$ ，不独立。选 A 是把「互斥」当成了「互不影响」：其实 $A$ 一发生， $B$ 就一定不发生，影响最大。两个概率都正的事件，互斥就一定不独立。

想一想

掷一颗骰子， $A =$ 「点数是偶数」， $B =$ 「点数 $\leq 4$ 」。 $A$ 与 $B$ ：

看答案与解析

答案：A

A。 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ， $A B = {2, 4}$ ， $P (A B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ，而 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ，相等，独立。同一次试验里的两个事件也能谈独立，标准只有 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。凭感觉选 B 的同学可以对比：把 $B$ 换成「点数 $\leq 3$ 」， $P (A B) = \frac{1}{6} \neq = \frac{1}{4}$ ，才不独立。

想一想

$10$ 张奖券里有 $2$ 张有奖。甲先抽一张，乙再从剩下的里抽一张（不放回）。甲、乙都中奖的概率是？

看答案与解析

答案：B

B。按顺序数：甲有 $10$ 种抽法，乙有 $9$ 种，共 $90$ 种。两人都中奖：甲 $2$ 种、乙只剩 $1$ 种， $2$ 种，概率 $\frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ 。

A 是 $\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}$ ：甲、乙各自中奖的概率确实都是 $\frac{1}{5}$ （乙中奖有 $2 \times 1 + 8 \times 2 = 18$ 种， $\frac{18}{90} = \frac{1}{5}$ ），可不放回时两件事不独立，不能相乘。放回再抽，答案才是 $\frac{1}{25}$ 。

挑战

想一想

甲、乙、丙三人各自破译同一个密码，能破译的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，互不影响。密码被破译（至少一人破译）的概率是？

看答案与解析

答案：B

B。三人各自破译，相互独立。都破译不了： $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ ，所以至少一人破译： $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。A 是三人都破译；C 是三个概率相加，超过了 $1$ ；D 是「都破译不了」，忘了用 $1$ 去减。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2019 全国Ⅰ卷（理科）第 15 题 · 填空

甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______。

答案与解析

答案： $0.18 = \frac{9}{50}$ 。

思路

4∶1获胜要求第5场获胜，且前4场恰输一场。

明确终止条件
前4场甲必须3胜1负，第5场（主场）再胜；如果前4场全胜，比赛已经以4∶0结束，不能计入。
按唯一失利的位置分类
前4场中若输一场主场，有2种位置，每种路径概率 $0.4 \cdot 0.6 \cdot 0. 5^{2}$ 。若输一场客场，也有2种位置，每种概率 $0. 6^{2} \cdot 0.5 \cdot 0.5$ 。相加得 $2 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot 0. 5^{2} + 2 \cdot 0. 6^{2} \cdot 0. 5^{2} = 0.30$ 。
乘第5场胜率
由各场结果独立，第5场胜与前4场指定结果的联合概率等于两概率之积，故所求为 $0.30 \times 0.6 = 0.18$ 。

易错点

用同一个胜率套五次二项分布。
没有固定第5场必须甲胜。
把已在第4场结束的4∶0路径算进去。

小结

有停止规则的比赛先写出“何时结束”，再计算独立路径。

2019 全国Ⅱ卷（理科）第 18 题 · 解答

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。 (1) 求 $P (X = 2)$ 。

答案与解析

答案： $P (X = 2) = 0.5$ 。

思路

两球后结束，恰好要求同一个人连得两分。

列举结束路径
第1球甲发球，第2球乙发球。两球即结束只有“甲甲”和“乙乙”两条路径。
计算路径概率
各球结果独立，P(甲甲)=0.5×0.4=0.2，P(乙乙)=(1−0.5)(1−0.4)=0.3。
相加互斥路径
两条路径不能同时发生，故 $P (X = 2) = 0.2 + 0.3 = 0.5$ 。

易错点

误认为两球胜率都为0.5。
把甲获胜的概率0.2当成比赛结束概率。

小结

事件结束不等于某一个指定人获胜，应列齐所有结束路径。

2019 全国Ⅱ卷（理科）第 18 题 · 解答

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。 (2) 求事件“X=4且甲获胜”的概率。

答案与解析

答案： $0.1$ 。

思路

前两球必须各得一分回到平局，接着甲连赢两球。

确定必需路径
若第2球后已分出胜负就不会打到第4球。因此前两球必须为“甲乙”或“乙甲”；为在第4球甲获胜，第3、4球必须“甲甲”。
求前两球打平概率
P(甲乙)+P(乙甲)=0.5×0.6+0.5×0.4=0.5。
计算最终事件
第3球仍由甲发球，第4球乙发球。由各球独立，事件概率为 $0.5 \times 0.5 \times 0.4 = 0.1$ 。

易错点

把P(X=4且甲胜)误作P(甲胜|X=4)。
把“乙乙甲甲”计入，忽略它早已结束。

小结

有停止规则的联合事件要先排除提前结束的路径。

2019 全国Ⅰ卷（理科）第 6 题 · 单选

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻（整条实线）和阴爻（中间断开的线）。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　）。

看答案与解析

答案：A

每个位置有阴阳两种选择，恰有3个阳爻只需选择3个位置。

构造样本空间

6个位置各有2种状态，共 $2^{6} = 64$ 个不同重卦，题目的随机取法使它们等可能。

核对独立性

任一位置是阳爻的概率为 $2^{5} / 2^{6} = 1/2$ ；指定两个位置同时是阳爻的概率为 $2^{4} / 2^{6} = 1/4 = (1/2) (1/2)$ 。更一般地，任意k个指定位置的状态同时出现的概率为2^(−k)，所以六位置相互独立。

计算恰3个的概率

从6个位置中选择3个放阳爻，有 $(3 6) = 20$ 种，概率为 $20/64 = 5/16$ ，选 A。

随机序列的等可能性在具体序列层面成立，不等于各种计数值等可能。

2023 新课标Ⅱ卷第 12 题 · 多选

在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立。发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ 。考虑两种传输方案：单次传输和三次传输。单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1、0、1，则译码为1）。下列说法正确的是（　）。

看答案与解析

答案：A、B、D

指定接收顺序用乘法；多数译码要把所有可能顺序计齐。

判断 A、B

A的三次正确接收概率相乘为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)^2，正确。B指定接收1、0、1，概率为(1−β)β(1−β)=β(1−β)^2，也正确。

判断 C

发送1时译码为1要求收到至少两个1。恰两个1有3种位置，故概率应为3β(1−β)^2+(1−β)^3。C漏掉系数3，错误。

判断 D

发送0时，令s=1−α。三次多数为0的概率为s^3+3s^2(1−s)。它比单次成功率s多出s(1−s)(2s−1)=α(1−α)(1−2α)。当0<α<1/2时差为正，D正确。

相互独立给出乘法，计数系数负责汇总相同成功次数的不同顺序。

2024 新课标Ⅱ卷第 18 题 · 解答

某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分。该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立。 (1) 若 $p = 0.4, q = 0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率。

答案与解析

答案： $\frac{343}{500} = 0.686$ 。

思路

总成绩至少5分，要求甲先过关且乙至少命中一次。

第一阶段过关
记A为甲3次至少命中1次。P(A)=1−(1−0.4)^3=1−0.6^3=0.784。
第二阶段得分
进入第二阶段后，乙3次至少命中1次才有至少5分。因各次投篮相互独立，给定A后这一概率仍为1−(1−0.5)^3=0.875。
合并阶段
所求为P(A)P(乙至少命中1次|A)=0.784×0.875=0.686=343/500。

易错点

只算乙至少命中一次，忘记甲需要先过关。
把总成绩至少5分错看成全队六次至少一次命中。

小结

多阶段事件先写齐每一道门槛，再利用条件概率或独立性相乘。

2025 新高考Ⅱ卷第 19 题 · 解答

甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p (\frac{1}{2} < p < 1)$ ，乙胜的概率为 $q$ ， $p + q = 1$ ，且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \geq 2$ ，记 $p_{k}$ 为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率， $q_{k}$ 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。 (1) 求 $p_{3}, p_{4}$ （用p表示）。

答案与解析

答案： $p_{3} = p^{3}$ ， $p_{4} = 4 p^{3} (1 - p) + p^{4} = 4 p^{3} - 3 p^{4}$ 。

思路

令X为甲赢球数，则甲乙分差为 X−(k−X)=2X−k。

转化分差条件
甲至少多2分等价于2X−k≥2，即X≥(k+2)/2。由于X为整数，需要向上取整。
计算三球情形
k=3时需X≥2.5，只能三球全胜，所以p_3=p^3。两胜一负仅领先1分，不满足要求。
计算四球情形
k=4时需X≥3，故p_4=C(4,3)p^3q+p^4=4p^3(1−p)+p^4=4p^3−3p^4。

易错点

将三球至少领先2分误作至少赢2球。
四球恰赢3球时漏掉4种失利位置。

小结

双方分差问题先写成成功次数的不等式，再套二项分布。