1.3 空间向量及其运算的坐标表示

建好空间直角坐标系，点和向量都写成三个数。求长度、夹角，判断垂直、平行，就变成按公式算这几个数。

本节知识点空间直角坐标系与单位正交基空间向量运算的坐标表示向量夹角、模长与空间两点距离空间线段内分点与三角形重心坐标

第 1 步

从例子进入

一艘货运飞船正向空间站核心舱实施无人自主交会对接。在激光雷达建立的三维导航坐标系中，空间站接口为原点 $O (0, 0, 0)$ ，传感器测得飞船对接机构相对于 $O$ 的空间位置为：向前（ $x$ 轴） $2 m$ 、向右（ $y$ 轴） $3 m$ 、向上（ $z$ 轴） $6 m$ ，即空间点 $P (2, 3, 6)$ 。先点下面的按钮查看三维坐标盒与体对角线：

互动演示载入中

想一想

从原点 $O$ 直线连接到对接靶心 $P$ ，位移向量 $O P$ 的空间直线距离（即向量模长 $∣ O P ∣$ ）是多少米？

看答案与解析

答案：B

B。答案是 $7 m$ 。

在空间长方体中，以 $O$ 为一个顶点、 $P (x, y, z)$ 为对角顶点的体对角线长，由两次勾股定理可得：底面长宽构成投影对角线长 $x^{2} + y^{2}$ ，再与竖直高 $z$ 做勾股定理，体对角线长即为：

∣ O P ∣ = (x^{2} + y^{2})^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 m

通过建立空间直角坐标系，立体几何中点的位置、线段的长度、异面直线的夹角与垂直关系，都可以完全转化为代数算式一样精准可靠的坐标运算！

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：1.2 空间向量基本定理（单位正交基底）；必修二 6.3 平面向量的坐标表示。

互动演示载入中

本质区别

点的坐标 $P (x, y, z)$ ：固定空间点相对于原点的位置；把这个点平移后，其坐标会改变。

向量坐标 $A B$ ：终点减起点，表示位移增量。自由平移后向量坐标恒定不变！

提醒：只有当向量起点位于原点 $O$ 时，向量坐标才恰好等于终点坐标！

判定陷阱

分式比例式： $\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{z _{2}}{z _{1}}$ 仅在分母全不为 0 时有效，遇 0 分母直接崩溃！

实数倍充要式：当 $a \neq = 0$ 时， $b = λ a$ （分量逐一对应），遇到 0 分量时对应分量必同为 0，不需要除以该分量。规定零向量与任意向量平行；若基准向量本身为零，须另行处理。

铁律：有分量为 0 时严禁写比例式，务必写成方程组 $b = λ a$ ！

2. 建系，写出点和向量的坐标

点的坐标：若 $O P = x i + y j + z k$ ，就说点 $P$ 的坐标是 $(x, y, z)$ ，它表示一个确定的位置。向量的坐标：若 $a = x i + y j + z k$ ，就记 $a = (x, y, z)$ ；向量平移后坐标不变。

两者的联系： $A B = O B - O A$ ，所以

建系前先找三条两两垂直、交于一点的线（长方体、正方体的一个顶点处最常见），说明它们垂直，再标原点、方向和单位。

想一想

自己试试：棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，以 $D$ 为原点， $D A, D C, D D_{1}$ 为 $x, y, z$ 轴。 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点， $D_{1} E$ 的坐标是：

看答案与解析

答案：A

A。 $B (2, 2, 0)$ ， $B_{1} (2, 2, 2)$ ，所以 $E (2, 2, 1)$ ； $D_{1} (0, 0, 2)$ 。

$D_{1} E = (2 - 0, 2 - 0, 1 - 2) = (2, 2, - 1)$ 。

常见算错：B 是用起点减终点，得到的是 $E D_{1}$ ；C 是把点 $E$ 的坐标直接当成了向量坐标，只有起点在原点时才可以这样；D 是把减号写成了加号。

3. 坐标运算：加减、数乘、数量积

设 $a = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $b = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ， $λ \in R$ 。加减和数乘都是逐个分量做：

a \pm b = (x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2})

λ a = (λ x_{1}, λ y_{1}, λ z_{1})

数量积为什么是「对应相乘再相加」：把 $a = x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$ 和 $b$ 展开相乘，共 9 项。 $i \cdot j$ 这类交叉项都是 $0$ ， $i \cdot i$ 这类都是 $1$ ，只剩三项：

注意：数量积的结果是一个数，不是向量。

想一想

自己试试： $a = (1, - 2, 3)$ ， $b = (2, - 1, - 1)$ ， $a \cdot b$ 等于：

看答案与解析

答案：A

A。 $1 \times 2 + (- 2) \times (- 1) + 3 \times (- 1) = 2 + 2 - 3 = 1$ 。

常见算错：B 是把 $(- 2) \times (- 1)$ 算成了 $- 2$ ，负负没得正；C 把三个乘积写成了向量，数量积是一个数；D 是把三项都当正数加了。

4. 模长、两点距离、夹角

模长就是「自己和自己的数量积」开根号，两点距离就是 $A B$ 的模：

这和开头的题一样：长方体体对角线，用两次勾股定理就得到三个平方和。两个非零向量的夹角，用数量积除以两个模长：

两个非零向量：当 $0 < cos θ < 1$ 时为锐角， $- 1 < cos θ < 0$ 时为钝角， $cos θ = 0$ 时为直角； $cos θ = 1$ 对应同向的 $0^{\circ}$ ， $cos θ = - 1$ 对应反向的 $18 0^{\circ}$ 。

想一想

自己试试：已知空间点 $A (2, 1, - 1)$ ， $B (1, 3, 1)$ ，则 $∣ A B ∣$ 等于：

看答案与解析

答案：A

A。 $A B = (1 - 2, 3 - 1, 1 - (- 1)) = (- 1, 2, 2)$ ， $∣ A B ∣ = 1 + 4 + 4 = 3$ 。

常见算错：C 是忘了开根号；B 是漏了竖坐标的变化，只算了前两个分量；竖坐标 $1 - (- 1)$ 算成 $0$ 也会得到 B。

5. 垂直与平行的坐标条件

夹角为直角 $⟺$ 余弦为 $0$ $⟺$ 数量积为 $0$ ；平行就是一个向量是另一个的倍数。设 $a, b$ 都不是零向量：

分量都不为 $0$ 时，平行也可以写成 $\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{z _{2}}{z _{1}}$ ；有分量为 $0$ 时只能用 $b = λ a$ ，不能除以 $0$ 。

想一想

自己试试：已知 $a = (1, 2, - 1)$ ， $b = (m, 1, 4)$ 。若 $a ⊥ b$ ，则 $m$ 等于：

看答案与解析

答案：C

C。 $a \cdot b = m + 2 - 4 = m - 2 = 0$ ，所以 $m = 2$ 。

常见算错：A 是移项时符号弄反；D 是把 $2 \times 1$ 也当成减项，得 $m - 6 = 0$ 。也有人把垂直和平行记混，去列比例式。

6. 三步破题思维链：空间向量坐标解题标准动作

第一眼破题信号

立体几何问题中存在显然或易证的三条两两垂直棱线（如正方体、长方体；一般棱柱或棱锥还须另证选定三线两两垂直，不能只凭几何体名称或底面直角），果断建立空间直角坐标系 $O - x y z$ ，选定原点并标明轴向与单位长。

第二步套公式/方法

① 写出关键点坐标，遇中点用加和除以 2； ② 终点减起点求向量坐标： $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ ； ③ 判定垂直算数量积 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ ；求夹角套余弦公式 $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ ；求距离套三维勾股公式。

第三步必查防坑结论

严格检查建系三轴是否两两垂直；向量坐标计算必须严格为终点减起点；判平行含 0 分量时绝不写除法比例式；异面直线夹角必取锐角或直角（ $cos θ \geq 0$ 取绝对值）。

7. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

第 3 步

动手

空间直角坐标系 3D 投影微实验室

使用统一的线性3D投影；向量a、b从原点出发，终点分别记为A、B。滑动调节或键盘方向键微调向量 $a = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 与 $b = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 的坐标分量，实时观察空间点投影虚线盒、模长、数量积与两向量空间夹角 $θ$ 的动态代数推演：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。紧扣空间向量坐标运算与 E1-01-B 关键边界。

直接用

想一想

已知空间向量 $a = (1, 2, - 2)$ ， $b = (- 2, 0, 1)$ ，则向量 $2 a + b$ 的模长等于：

看答案与解析

答案：A

A。先算坐标线性组合： $2 a = (2, 4, - 4)$ ， $2 a + b = (2 + (- 2), 4 + 0, - 4 + 1) = (0, 4, - 3)$ 。再利用模长公式： $∣2 a + b ∣ = 0^{2} + 4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ 。注意模长不能直接把各向量模长相加。

想一想

已知空间两点 $A (1, 2, 3)$ 、 $B (3, - 2, 1)$ ，点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则中点 $M$ 的坐标以及线段 $A B$ 的长度 $∣ A B ∣$ 分别为：

看答案与解析

答案：A

A。中点坐标为各对应坐标算术平均数： $M (\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + ( - 2 )}{2}, \frac{3 + 1}{2}) = (2, 0, 2)$ 。两点间距离为两点式向量模长： $∣ A B ∣ = (3 - 1)^{2} + (- 2 - 2)^{2} + (1 - 3)^{2} = 4 + 16 + 4 = 24 = 26$ 。

易错

想一想

【边界 5：含 0 分量共线判定】已知空间向量 $a = (2, 0, - 4)$ ， $b = (- 1, y, z)$ 。若 $a ∥ b$ ，则实数对 $(y, z)$ 的值为：

看答案与解析

答案：A

A。根据空间向量平行的充要条件：存在实数 $λ$ 使得 $b = λ a$ 。

即 $(- 1, y, z) = λ (2, 0, - 4) ⟹ - 1 = 2 λ ⟹ λ = - \frac{1}{2}$ 。

代入其余分量： $y = - \frac{1}{2} \times 0 = 0$ ， $z = - \frac{1}{2} \times (- 4) = 2$ 。

警示：很多同学误以为分量含 0 时“不能平行”或“比例无意义”，其实分母为 0 只是提醒我们不能写成坐标相除，而必须严格用数乘方程 $b = λ a$ 求解！

想一想

【边界 1：直角坐标轴必须正交】在空间几何体中建立空间直角坐标系，下列选轴做法中合规且正确的是：

看答案与解析

答案：C

C。空间直角坐标系必须依赖「单位正交基底」（三条坐标轴必须两两垂直）。

长方体从同一顶点出发的三条棱两两互相垂直，符合建系条件；而正三棱柱底面是正三角形， $∠ B A C = 6 0^{\circ} \neq = 9 0^{\circ}$ ；正四面体各面都是等边三角形，侧棱两两夹角也为 $6 0^{\circ}$ ；斜四棱柱的棱更不是直角。绝不能随意把斜棱当作坐标轴，建系前必须先证明轴的两两垂直！

想一想

【边界 2：终点减起点与垂直判定】已知空间三点 $A (1, 0, 2)$ 、 $B (2, 1, 3)$ 、 $C (x, 2, 1)$ 。若向量 $A B ⊥ A C$ ，则实数 $x$ 的值为：

看答案与解析

答案：A

A。两点式向量必须用「终点坐标减去起点坐标」：

$A B = (2 - 1, 1 - 0, 3 - 2) = (1, 1, 1)$ ；

$A C = (x - 1, 2 - 0, 1 - 2) = (x - 1, 2, - 1)$ 。

两非零向量垂直充要条件是数量积为 0：

$A B \cdot A C = 1 \times (x - 1) + 1 \times 2 + 1 \times (- 1) = x - 1 + 2 - 1 = x = 0$ 。

本题把某个向量反向只会让整个数量积变号，不改变“数量积为0”的条件，因此仍得x=0。向量坐标应按终点减起点；若只把部分分量符号改错或把常数项加错，才会改变方程。

挑战

想一想

已知非零向量 $a = (1, 1, 0)$ ， $b = (0, 1, 1)$ 。若空间非零向量 $n = (x, y, 1)$ 同时垂直于 $a$ 和 $b$ ，则向量 $n$ 的模长 $∣ n ∣$ 等于：

看答案与解析

答案：A

A。这正是立体几何中求「平面法向量」的经典代数方程组：

$n ⊥ a ⟺ x \times 1 + y \times 1 + 1 \times 0 = 0 ⟹ x + y = 0$ ；

$n ⊥ b ⟺ x \times 0 + y \times 1 + 1 \times 1 = 0 ⟹ y + 1 = 0 ⟹ y = - 1$ 。

解得 $y = - 1$ ，代入得 $x = - y = 1$ 。因此公垂向量为 $n = (1, - 1, 1)$ 。

其模长为 $∣ n ∣ = 1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2} = 3$ 。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2010 广东卷（理科）第 10 题 · 填空

若向量 $a = (1, 1, x)$ ， $b = (1, 2, 1)$ ， $c = (1, 1, 1)$ ，满足条件 $(c - a) \cdot (2 b) = - 2$ ，则 $x =$ ______。

答案与解析

答案： $2$

思路

先把括号中的两个空间向量分别算出来，再做数量积。

计算两个因子
$c - a = (0, 0, 1 - x)$ ， $2 b = (2, 4, 2)$ 。
数量积列方程
两向量数量积为 $0 \times 2 + 0 \times 4 + (1 - x) \times 2 = 2 (1 - x)$ 。令其等于−2，解得x=2。

易错点

数乘只乘一个分量。
把数量积算成一个三维向量。

小结

三维坐标运算逐分量进行，数量积最后得到实数。

2017 上海卷第 7 题 · 填空

以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点D为坐标原点，以射线DA、DC、 $D D_{1}$ 分别为x、y、z轴正半轴，建立空间直角坐标系（坐标方向与原图一致）。若 $D B_{1}$ 的坐标为(4,3,2)，则 $A C_{1}$ 的坐标为______。

答案与解析

答案： $(- 4, 3, 2)$

思路

先分清D、A、C₁的点坐标，最后才求从A指向C₁的位移。

确定点坐标
D=(0,0,0)。由 $D B_{1} = (4, 3, 2)$ 知三条对应棱长为4、3、2，因此A=(4,0,0)，C₁=(0,3,2)。
终点减起点
$A C_{1} = C_{1} - A = (0 - 4, 3 - 0, 2 - 0) = (- 4, 3, 2)$ 。

易错点

把A的点坐标直接当成AC₁的向量坐标。
忽略原图给定的坐标轴正方向。

小结

向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，与起点是否为原点有关。

2019 上海卷第 3 题 · 填空

已知向量 $a = (1, 0, 2)$ ， $b = (2, 1, 0)$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为______。

答案与解析

答案： $arccos \frac{2}{5}$

思路

先分别求数量积和两个向量的模，再代入夹角公式。

计算数量积和模长
$a \cdot b = 1 \times 2 + 0 \times 1 + 2 \times 0 = 2$ ，两向量的模均为 $5$ 。
确定夹角
设夹角为θ，则 $cos θ = 2/ (55) = 2/5$ 。θ∈[0,π]，故 $θ = arccos (2/5)$ 。

易错点

把二维坐标公式套用时漏掉第三个分量。
只求数量积就把2当作角度或余弦值。

小结

空间夹角用坐标数量积除以模长乘积，最后核对角的范围。