1.1 空间向量及其运算

把平面向量的加减、数乘和数量积搬到空间：法则不变，新多出来的问题是三个向量共不共面。这一节学这些运算，以及怎样用它们算长度、判垂直。

本节知识点空间向量、相等向量与零向量空间向量的线性运算与路径分解空间向量数量积与非正交交叉项投影向量、有向投影与投影长度用正交投影求点到直线距离

第 1 步

从例子进入

一架无人机在无风的天空中执行巡检任务。从起飞点 $O$ 出发，无人机先沿水平向东飞行了 $12 m$ 到 $A$ ，接着沿水平向北飞行了 $5 m$ 到 $B$ ，最后垂直向上爬升了 $9 m$ 到达空中点 $P$ 。先点下面的两个步骤按钮，看看平面位移怎样一步步合成为空间总位移：

互动演示载入中

想一想

地面飞控员想知道：无人机现在的空间位置 $P$ 相对于起飞点 $O$ 的总位移大小是多少？

看答案与解析

答案：C

C。水平地面上的向东 $12 m$ 与向北 $5 m$ 互相垂直，合成后的水平位移大小是 $1 2^{2} + 5^{2} = 13 m$ ；该水平位移再与竖直向上的 $9 m$ 垂直合成，总位移长度恰好是一个长方体的体对角线长： $1 3^{2} + 9^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} + 9^{2} = 250 \approx 15.8 m$ 。

物理中的位移与力具有大小和方向，可以在三维空间中自由合成。那么在数学上，平面向量的加减法法则、共线共面关系以及数量积公式，如何自然推广到三维立体空间？这就是本节要建立的核心体系。

第 2 步

讲清楚

1. 先认识几个词

要用到：平面向量概念与加减法（回看 6.1、6.2）；空间两条直线的位置关系（回看 8.4）。

互动演示载入中

核心辨析

空间直线：位置固定，可以既不相交也不平行（异面直线）。

空间向量：只认大小和方向，与位置无关，可自由平移。任意两向量平移至同一起点后必落在同一平面内，空间绝无异面向量！

结论：异面直线所成的角，本质就是两直线方向向量夹角（或其补角）。

运算警戒

分配律恒成立： $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ （三维空间线性有效）。

数量积不能套用结合律： $(a \cdot b) c$ 与 $a (b \cdot c)$ 一般不相等。例： $a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0), c = (0, 1, 0)$ ，左边为 $(0, 1, 0)$ ，右边为 $(1, 0, 0)$ 。特殊取值也可能相等，例如 $a = c$ ；结果为零时不能讨论其方向。

警惕：数量积运算绝不可约去！ $a \cdot b = a \cdot c \neq ⟹ b = c$ 。

2. 加减法与折线回路

意思：空间向量的加法、减法、数乘，规则和平面里一样。为什么：任意两个向量平移到同一起点后落在同一个平面内，两个向量相加就是在这个平面里用平面向量的法则；三个以上的向量，一个一个往上加即可。

三角形法则（首尾相接）： $A B + B C = A C$ ；减法： $O B - O A = A B$ （终点减起点）。
平行四边形法则（共起点）： $O A + O B$ 是以 $O A, O B$ 为邻边的平行四边形的对角线向量。
折线回路：首尾相接、最后回到出发点的一串向量，和是零向量： $A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n} A_{1} = 0$
平行六面体法则：以 $O A, O B, O C$ 为三条棱作平行六面体，从 $O$ 出发的体对角线向量 $O P = O A + O B + O C$

想一想

自己试试：在空间四面体 $O - A B C$ 中，点 $M$ 是棱 $B C$ 的中点，化简 $O M - \frac{1}{2} O B - \frac{1}{2} O C$ 的结果是？

看答案与解析

答案：A

A。在 $△ O B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 中点， $O M = \frac{1}{2} (O B + O C)$ ，代入后正好减完，结果是零向量 $0$ 。

常见算错：选 B。向量减向量，结果还是向量，要写 $0$ ；实数 $0$ 是数，不是向量。

3. 共线向量与共面向量定理

意思：判断三点共线、四点共面，就看一个向量能不能用别的向量「伸缩再相加」表示出来。为什么：和 $b$ 平行的向量只是把 $b$ 拉长、缩短或反向；两个不共线的向量 $a, b$ 伸缩后相加，只能走遍它们所在的那个平面。

共线向量定理： $b \neq = 0$ 时， $a ∥ b ⟺$ 存在唯一实数 $λ$ ，使 $a = λ b$ 。
共面向量定理： $a, b$ 不共线时， $p$ 与 $a, b$ 共面 $⟺$ 存在唯一实数对 $(x, y)$ ，使 $p = x a + y b$ 。
四点共面： $A, B, C$ 不共线，点 $O$ 在平面 $A B C$ 外。若 $O P = x O A + y O B + z O C$ 则 $P$ 在平面 $A B C$ 上 $⟺ x + y + z = 1$ （为什么见 1.2 第 4 块）。

想一想

自己试试： $A, B, C$ 不共线，点 $P$ 满足 $A P = 2 A B - 3 A C$ 。点 $P$ 与平面 $A B C$ 的关系是？

看答案与解析

答案：B

B。 $A P$ 已经写成了不共线的 $A B, A C$ 的组合，由共面向量定理， $A P$ 与它们共面；三个向量又都从 $A$ 出发，所以 $P$ 在平面 $A B C$ 上。

常见算错：算 $2 + (- 3) = - 1 \neq = 1$ ，就选 D。「系数和为 1」只用在从平面外一点 $O$ 出发、写成 $O A, O B, O C$ 三项的式子；这里是从 $A$ 出发的两项式子，系数取什么都共面。

4. 数量积与长度、角度、垂直

意思： $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ⟨ a, b ⟩$ ，定义和平面里一样。为什么能照搬：两个向量平移到同一起点后在同一平面内，夹角就在这个平面里量。有了它，长度、角度、垂直都能算：

垂直： $a, b$ 非零时， $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$ 。
长度： $∣ a ∣^{2} = a \cdot a$ ，所以 $∣ a ∣ = a \cdot a$ 。
夹角： $a, b$ 非零时， $cos ⟨ a, b ⟩ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ 。

做法：把要求的向量拆成几个「长度、夹角都知道」的向量，再展开。两个基向量不垂直时，展开后的交叉项 $2 a \cdot b$ 不是 $0$ ，必须留着。

想一想

自己试试：空间向量 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 3$ ， $⟨ a, b ⟩ = 6 0^{\circ}$ 。 $∣ a - b ∣$ 等于？

看答案与解析

答案：A

A。 $a \cdot b = 2 \times 3 \times cos 6 0^{\circ} = 3$ 。

∣ a - b ∣^{2} = 4 - 2 \times 3 + 9 = 7

所以 $∣ a - b ∣ = 7$ 。

常见算错：选 B 是丢了交叉项（ $a, b$ 不垂直， $2 a \cdot b \neq = 0$ ）；选 C 是交叉项符号写成了加号；选 D 是把长度直接相减 $3 - 2$ 。

5. 三步破题思维链：空间向量解题标准动作

第一眼破题信号

遇到空间几何体中的垂直证明、求夹角或模长问题，发现传统辅助线极难作时，果断建立向量化思路：选取有公共顶点的三条不共面棱向量作为基底（如正四面体或长方体三棱 $a, b, c$ ）。

第二步套公式/方法

① 用基底线性表示目标线段向量：利用首尾折线回路拆分； ② 数量积求角或证垂直：代入 $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 展开代数式，判定是否为 0； ③ 求线段长度：套用“求模先平方”公式 $∣ v ∣^{2} = v \cdot v$ ，展开所有交叉项后开方。

第三步必查防坑结论

检查两向量不垂直时展开模方是否保留了交叉项 $2 a \cdot b$ ；向量夹角 $θ \in [0, π]$ ，但两条异面直线所成角范围为 $(0, \frac{π}{2}]$ ，钝角需取补角；数量积相等不可直接约去！

6. 三大翻车现场与反例辨析

互动演示载入中

再深一点（可以先跳过）

空间里四个向量，为什么总有一个能用另外三个表示？空间只有三个「方向自由度」：三个不共面的向量就能表示空间里所有向量，第四个必然能用它们表示出来。下一节（1.2 空间向量基本定理）把这件事讲清楚。

第 3 步

动手

① 空间向量 3D 斜测透视交互台

在三维空间直观体验向量的几何运算法则。在下方切换观察「加法平行四边形/三角形」、「数量积与空间夹角 $θ$ 」以及「投影向量」。可拖动滑块改变向量 $a$ 与 $b$ 的空间分量：

互动演示载入中

第 4 步

练一练

从易到难排好了。前两道直接运用，中间两道攻坚易错红线，最后一道挑战综合几何。

直接用

想一想

在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，化简空间折线回路向量表达式 $A B + B C + C C_{1} + D_{1} A_{1}$ 的结果是？

看答案与解析

答案：A

A。逐步相加：前三项首尾相连 $A B + B C + C C_{1} = A C_{1}$ 。在正方体顶面中，棱向量 $D_{1} A_{1} = C_{1} B_{1}$ 。故原式 $= A C_{1} + C_{1} B_{1} = A B_{1}$ 。

想一想

已知空间向量 $a, b$ 满足 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3$ ，且 $(a + 2 b) ⊥ (2 a - b)$ 。则数量积 $a \cdot b$ 的值为？

看答案与解析

答案：A

A。由垂直充要条件，两向量数量积为 0：

$(a + 2 b) \cdot (2 a - b) = 2 a^{2} + 3 a \cdot b - 2 b^{2} = 0$ 。

代入模长 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3$ ： $2 \times 4 + 3 a \cdot b - 2 \times 9 = 0 ⟹ 8 + 3 a \cdot b - 18 = 0 ⟹ 3 a \cdot b = 10$ ，解得 $a \cdot b = \frac{10}{3}$ 。

易错

想一想

下列关于空间向量概念与共面性的命题中，正确的是哪一个？

看答案与解析

答案：C

C。逐项辨析核心边界：

C 正确：空间向量是自由向量，平移到同一起点后必在同一平面内，空间中绝对不存在「异面向量」。

A 错误：直线可以异面，但向量可自由平移，不存在异面向量概念。

B 错误：两两不共线不等于不共面！例如正三角形的三边向量两两不共线，但完全共面。

D 错误：取 $O = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1)$ ，得 $P = (1/2, 1/3, 1/4)$ 不在 $A B C : x + y + z = 1$ 内。该判据须 $A, B, C$ 不共线、 $O$ 在面外。

想一想

设 $a, b, c$ 是空间中三个非零向量，下列运算律中恒成立的是：

看答案与解析

答案：C

C。辨析数量积的关键边界：

C 恒成立：两向量已知非零， $a \cdot b = 0 ⟺ cos θ = 0 ⟺ θ = 9 0^{\circ} ⟺ a ⊥ b$ 。

A 错误：数量积没有消去律！ $a \cdot (b - c) = 0$ 可能是 $a ⊥ (b - c)$ ，不能推得 $b = c$ 。

B 不恒成立：例如 $a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0), c = (0, 1, 0)$ ，两边分别为 $(0, 1, 0)$ 和 $(1, 0, 0)$ 。这说明不能套用结合律，并不表示任意取值都不相等。

D 错误：夹角可能是 $18 0^{\circ}$ （反向平角），平角不是钝角。

挑战

想一想

在棱长为 $2$ 的正四面体 $A - B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A B, C D$ 的中点。则对棱中点连线段 $E F$ 的长度（即向量模长 $∣ E F ∣$ ）为：

看答案与解析

答案：B

B。选定基底 $A B = a, A C = b, A D = c$ ，模长均为 2，两两夹角为 $6 0^{\circ}$ ，两两数量积为 $2 \times 2 \times cos 6 0^{\circ} = 2$ 。

$A E = \frac{1}{2} a$ ， $A F = \frac{1}{2} (b + c)$ ，故 $E F = A F - A E = \frac{1}{2} (b + c - a)$ 。

展开求模平方：

∣ E F ∣^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} + c^{2} + a^{2} + 2 b \cdot c - 2 a \cdot b - 2 a \cdot c) = \frac{1}{4} (4 + 4 + 4 + 4 - 4 - 4) = 2

故线段长 $∣ E F ∣ = 2$ 。

第 5 步

高考真题

先独立作答，做完再对照分步解析。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。

2008 四川卷（理科，非延考区，旧课标）第 19 题 · 解答

如图，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B E F$ 与 $A B C D$ 都是直角梯形， $∠ B A D = ∠ B A F = 9 0^{\circ}$ ， $B C ∥ A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $B E ∥ A F$ ， $B E = \frac{1}{2} A F$ 。求证： $C, D, E, F$ 四点共面。

答案与解析

答案：证明见分步解析。

思路

在两个不同的梯形平面中，把CB与BE拼成CE；利用半长且平行的条件转成空间向量数乘。

把长度和平行改写为向量关系
按直角梯形的顶点顺序， $B C$ 与 $A D$ 同向， $B E$ 与 $A F$ 同向。于是 $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $B E = \frac{1}{2} A F$ 。
在空间中首尾相接
$C E = C B + B E = - \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} (D A + A F) = \frac{1}{2} D F$ 。
由平行得到共面
因此CE所在直线与DF所在直线平行；两条平行直线共面，故C、E、D、F四点共面。这里仅使用空间向量加法、数乘与已学的直线位置关系。

易错点

把线段平行且半长直接写成带方向的等式时，必须先核对顶点顺序和同向。
CB与BC方向相反，数乘换向的负号不能遗漏。

小结

空间向量的加法法则不依赖所有向量处在同一平面，拼接后可把共面问题化为平行线。

2015 浙江卷（理科）第 15 题 · 填空

已知 $e_{1}, e_{2}$ 是空间单位向量， $e_{1} \cdot e_{2} = \frac{1}{2}$ 。若空间向量 $b$ 满足 $b \cdot e_{1} = 2$ ， $b \cdot e_{2} = \frac{5}{2}$ ，且对于任意 $x, y \in R$ ， $∣ b - (x e_{1} + y e_{2}) ∣ \geq ∣ b - (x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2}) ∣ = 1$ ， $x_{0}, y_{0} \in R$ ，则 $x_{0} =$ ， $y_{0} =$ ， $∣ b ∣ =$ ______。

答案与解析

答案： $1$ ； $2$ ； $22$

思路

在最小值点只沿一个单位向量方向移动；若剩余向量与该方向数量积非零，就能使模进一步变短。

从最小条件得到垂直
设 $r = b - x_{0} e_{1} - y_{0} e_{2}$ ，则|r|=1。对任意t有 $∣ r - t e_{1} ∣^{2} = 1 - 2 t (r \cdot e_{1}) + t^{2} \geq 1$ 。取 $t = r \cdot e_{1}$ ，得 $1 - (r \cdot e_{1})^{2} \geq 1$ ，故 $r \cdot e_{1} = 0$ 。同理 $r \cdot e_{2} = 0$ 。
求两个系数
与e₁、e₂分别作数量积，得 $x_{0} + y_{0} /2 = 2$ 、 $x_{0} /2 + y_{0} = 5/2$ ，解得x₀=1、y₀=2。
用数量积求模长
$b = r + e_{1} + 2 e_{2}$ ，r与后两向量之和垂直。因此 $∣ b ∣^{2} = 1 + ∣ e_{1} + 2 e_{2} ∣^{2} = 1 + 1 + 4 + 4 \times (1/2) = 8$ ，故 $∣ b ∣ = 22$ 。

易错点

看到最小值就直接套空间坐标或法向量公式。
忘记模平方展开的交叉项。

小结

空间向量的最短条件可由数量积展开证明；无须预先学习法向量应用。